Teste a série quanto à convergência ou à divergéncia.
sumn=1^infty raizn^2+1n^2+n

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty raizn^2+1n^2+n
É uma série de termos positivos, então vamos aplicar o teste da comparação limite comparando com a série harmônica sum 1/n.

Passo 2

Analisamos o comportamento assintótico de
an = raizn^2+1n^2+n
Como raizn^2+1sim n quando ntoinfty, segue que
an sim nn^2 = 1n

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação limite com bn = 1/n:
limntoinfty anbn = limntoinfty raizn^2+1n^2+n,g/!1n = limntoinfty nraizn^2+1,n^2+n,
Dividindo numerador e denominador por n^2:
nraizn^2+1n^2+n = raiz1+1/n^21+1/n ;longrightarrow;1
Como o limite é finito e não nulo, as duas séries apresentam o mesmo comportamento.

Passo 4

A série harmônica sum 1/n diverge. Portanto, pela comparação limite, a série
sumn=1^infty raizn^2+1n^2+n também diverge.

Resposta

A série diverge.

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