Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes indeterminados. Aqui o conteúdo é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes: a solução geral é dada por
onde
vem da parte homogênea e
é uma solução particular.
Passo 2
Começamos pela parte homogênea
A equação característica é
cujas raízes são
(dupla) e
. Logo
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular para o termo constante
. Como o termo não homogêneo é polinomial de grau zero e
é raiz dupla, tentamos
Calculamos
e substituímos em
:
Os termos
já estão na homogênea, então podemos tomar
. Assim,
Passo 4
Para o termo
usamos o palpite
Então
e na equação
ficamos com
Igualando coeficientes:
resolve em
Logo
Passo 5
A solução particular completa é
Portanto, a solução geral é