Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
y^prime prime prime-6 y^prime prime=3-cos x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''' - 6y'' = 3 - cos x
usando o método dos coeficientes indeterminados. Aqui o conteúdo é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes: a solução geral é dada por
y(x) = yh(x) + yp(x),
onde yh vem da parte homogênea e yp é uma solução particular.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea
y''' - 6y'' = 0
A equação característica é
r^3 - 6r^2 = r^2(r-6)=0,
cujas raízes são r=0 (dupla) e r=6. Logo
yh(x) = C1 + C2 x + C3 e^6x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular para o termo constante 3. Como o termo não homogêneo é polinomial de grau zero e r=0 é raiz dupla, tentamos
yp1(x) = A x^2 + Bx + C
Calculamos
yp1'' = 2A, yp1''' = 0,
e substituímos em y''' - 6y'' = 3:
0 - 6,(2A) = 3 Longrightarrow -12A = 3 Longrightarrow A = -tfrac14
Os termos Bx+C já estão na homogênea, então podemos tomar B=C=0. Assim,
yp1(x) = -tfrac14,x^2

Passo 4

Para o termo -cos x usamos o palpite
yp2(x) = Acos x + Bsin x
Então
yp2'' = -Acos x - Bsin x, yp2''' = Asin x - Bcos x,
e na equação
yp2''' - 6yp2'' = -cos x
ficamos com
l(Asin x - Bcos xr) -6l(-Acos x - Bsin xr) =(-B +6A)cos x + (A+6B)sin x = -cos x
Igualando coeficientes:
-,B + 6A = -1, A + 6B = 0
resolve em
B = 137, A = -637
Logo
yp2(x) = -tfrac637cos x + tfrac137sin x

Passo 5

A solução particular completa é
yp(x) = yp1(x) + yp2(x) = -tfrac14 x^2 ;-;tfrac637cos x ;+;tfrac137sin x
Portanto, a solução geral é
y(x) = C1 + C2 x + C3 e^6x ;-;tfrac14 x^2 ;-;tfrac637cos x ;+;tfrac137sin x

Resposta

y(x) = C1 + C2 x + C3 e^6x - x^24 - 637cos x + 137sin x

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