[G1, G2] Encontre a derivada da função
f(x)=sin ^3(x)x^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=sin^3(x)x^2
O conteúdo principal aqui é derivação de funções compostas e derivação de produto/quociente. Vamos reescrever f(x) de forma a usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevendo
f(x)=sin^3(x);x^-2,
podemos aplicar a regra do produto a
u(x)=sin^3(x) e v(x)=x^-2
Isso evita usar diretamente a regra do quociente.

Passo 3

Calculamos primeiro as derivadas de u e v:
A derivada de u(x)=sin^3(x) exige a regra da cadeia:
u'(x)=3,sin^2(x)cdotddx[sin(x)] =3,sin^2(x)cos(x)
A derivada de v(x)=x^-2 usa a regra de potência:
v'(x)=-2,x^-3
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 4

Substituindo u, u', v, v' em
f'(x)=3,sin^2(x)cos(x),x^-2 ;+;sin^3(x),(-2,x^-3),
ficamos com
f'(x) =3,sin^2(x)cos(x)x^2 -2,sin^3(x)x^3

Passo 5

Para simplificar, fatoramos sin^2(x),x^-3:
f'(x) =sin^2(x)x^3l(3xcos(x)-2sin(x)r)

Resposta

boxedf'(x)=sin^2(x)x^3l(3xcos(x)-2sin(x)r)

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