Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial pela técnica dos coeficientes indeterminados:
Informações dadas e o que precisamos considerar:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo é um produto de um polinômio em
(grau 2) por uma exponencial . -
é uma constante (vou assumir para que seja bem definida em reais). Não vou pedir mais informações — sigo com essa hipótese natural. - Nosso objetivo: encontrar a solução geral
, ou seja a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular obtida pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada:
Montamos a equação característica:
As raízes são
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Explicando o método dos coeficientes indeterminados (mini-aula):
- Quando o lado direito tem a forma
(polinômio vezes uma exponencial), tentamos uma solução particular da forma , onde é um polinômio de mesmo grau com coeficientes a determinar. - Se
corresponder a uma solução da homogênea (ressonância), multiplicamos a proposta por onde é a multiplicidade apropriada. Aqui a característica tem raízes puramente imaginárias , enquanto será (real se ), logo não há ressonância — podemos usar diretamente grau 2. - No nosso caso note que
. Definimos
Como a parte polinomial tem grau 2, propomos
com
indeterminados a achar.
Passo 4
Derivadas de
. Defina
. Então
Usando a regra do produto para
:
Agora substituímos em
:
Queremos que isso seja igual ao lado direito:
Como
é nunca zero, podemos cancelar
e obter a identidade polinomial
Passo 5
Substituir
,
,
e igualar coeficientes. Lembrando
,
,
, obtemos:
Agrupando por potências de
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente constante:
Passo 6
Resolver o sistema para
.
Primeiro,
Primeiro,
Segundo, da equação do coeficiente de
:
Substituindo
:
Terceiro, da equação constante:
Calculemos
:
Colocando em denominação comum
:
Portanto
Passo 7
Substituir
e montar a solução particular final. Assim
com
. A solução particular é
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com
:
com
dados acima em função de
.
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.