Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
y^{\prime \prime}+3 y=-48 x^{2} c^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial pela técnica dos coeficientes indeterminados:
y^{\prime\prime}+3y=-48x^{2}c^{3x}.
Informações dadas e o que precisamos considerar:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo é um produto de um polinômio em x (grau 2) por uma exponencial c^{3x}.
  • c é uma constante (vou assumir c>0 para que c^{3x}=e^{3x\ln c} seja bem definida em reais). Não vou pedir mais informações — sigo com essa hipótese natural.
  • Nosso objetivo: encontrar a solução geral y(x), ou seja a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular obtida pelo método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada:
y''+3y=0.
Montamos a equação característica:
r^{2}+3=0.
As raízes são
r=\pm i\sqrt{3}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}\cos\bigl(\sqrt{3}x\bigr)+C_{2}\sin\bigl(\sqrt{3}x\bigr),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Explicando o método dos coeficientes indeterminados (mini-aula):
  • Quando o lado direito tem a forma P_{n}(x)e^{\alpha x} (polinômio vezes uma exponencial), tentamos uma solução particular da forma Q_{n}(x)e^{\alpha x}, onde Q_{n} é um polinômio de mesmo grau n com coeficientes a determinar.
  • Se e^{\alpha x} corresponder a uma solução da homogênea (ressonância), multiplicamos a proposta por x^{s} onde s é a multiplicidade apropriada. Aqui a característica tem raízes puramente imaginárias \pm i\sqrt{3}, enquanto \alpha será 3\ln c (real se c>0), logo não há ressonância — podemos usar diretamente grau 2.
  • No nosso caso note que c^{3x}=e^{3x\ln c}. Definimos
\alpha=3\ln c.
Como a parte polinomial tem grau 2, propomos
y_{p}(x)=e^{\alpha x}\bigl(Ax^{2}+Bx+C\bigr),
com A,B,C indeterminados a achar.

Passo 4

Derivadas de y_{p}. Defina \varphi(x)=Ax^{2}+Bx+C. Então
\varphi'(x)=2Ax+B,\qquad \varphi''(x)=2A.
Usando a regra do produto para y_{p}= \varphi e^{\alpha x}:
y_{p}'=\varphi' e^{\alpha x}+\alpha\varphi e^{\alpha x},
y_{p}''=\varphi'' e^{\alpha x}+2\alpha\varphi' e^{\alpha x}+\alpha^{2}\varphi e^{\alpha x}.
Agora substituímos em y''+3y:
y_{p}''+3y_{p}=e^{\alpha x}\Bigl(\varphi''+2\alpha\varphi'+(\alpha^{2}+3)\varphi\Bigr).
Queremos que isso seja igual ao lado direito:
-48x^{2}c^{3x}=-48x^{2}e^{\alpha x}.
Como e^{\alpha x} é nunca zero, podemos cancelar e^{\alpha x} e obter a identidade polinomial
\varphi''+2\alpha\varphi'+(\alpha^{2}+3)\varphi=-48x^{2}.

Passo 5

Substituir \varphi, \varphi', \varphi'' e igualar coeficientes. Lembrando \varphi=Ax^{2}+Bx+C, \varphi'=2Ax+B, \varphi''=2A, obtemos:
2A + 2\alpha(2Ax+B) + (\alpha^{2}+3)(Ax^{2}+Bx+C) = -48x^{2}.
Agrupando por potências de x:
  • Coeficiente de x^{2}:
(\alpha^{2}+3)A = -48.
  • Coeficiente de x:
4\alpha A + (\alpha^{2}+3)B = 0.
  • Coeficiente constante:
2A + 2\alpha B + (\alpha^{2}+3)C = 0.

Passo 6

Resolver o sistema para A,B,C.
Primeiro,
A=\frac{-48}{\alpha^{2}+3}.
Segundo, da equação do coeficiente de x:
B=\frac{-4\alpha A}{\alpha^{2}+3}.
Substituindo A:
B=\frac{-4\alpha\left(-\dfrac{48}{\alpha^{2}+3}\right)}{\alpha^{2}+3} =\frac{192\alpha}{(\alpha^{2}+3)^{2}}.
Terceiro, da equação constante:
C=\frac{-(2A+2\alpha B)}{\alpha^{2}+3}.
Calculemos 2A+2\alpha B:
2A+2\alpha B=2\left(-\frac{48}{\alpha^{2}+3}\right)+2\alpha\left(\frac{192\alpha}{(\alpha^{2}+3)^{2}}\right).
Colocando em denominação comum (\alpha^{2}+3)^{2}:
2A+2\alpha B=\frac{-96(\alpha^{2}+3)+384\alpha^{2}}{(\alpha^{2}+3)^{2}} =\frac{288(\alpha^{2}-1)}{(\alpha^{2}+3)^{2}}.
Portanto
C=-\frac{288(\alpha^{2}-1)}{(\alpha^{2}+3)^{3}} =\frac{288(1-\alpha^{2})}{(\alpha^{2}+3)^{3}}.

Passo 7

Substituir \alpha=3\ln c e montar a solução particular final. Assim
A=-\frac{48}{\alpha^{2}+3},\qquad B=\frac{192\alpha}{(\alpha^{2}+3)^{2}},\qquad C=\frac{288(1-\alpha^{2})}{(\alpha^{2}+3)^{3}},
com \alpha=3\ln c. A solução particular é
y_{p}(x)=c^{3x}\Bigl(Ax^{2}+Bx+C\Bigr).
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com y_{p}:
y(x)=C_{1}\cos\bigl(\sqrt{3}x\bigr)+C_{2}\sin\bigl(\sqrt{3}x\bigr)+c^{3x}\bigl(Ax^{2}+Bx+C\bigr),
com A,B,C dados acima em função de \alpha=3\ln c.

Resposta

y(x)=C_{1}\cos\bigl(\sqrt{3}x\bigr)+C_{2}\sin\bigl(\sqrt{3}x\bigr)+c^{3x}\Biggl(-\frac{48}{\alpha^{2}+3}x^{2}+\frac{192\alpha}{(\alpha^{2}+3)^{2}}x+\frac{288(1-\alpha^{2})}{(\alpha^{2}+3)^{3}}\Biggr)
onde \alpha=3\ln c e C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

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