Resolva a equação diferencial dada.
(2 r^2 cos theta sen theta+r cos theta) d theta+(4 r+sen theta-2 r cos ^2 theta) d r=0

Passo 1

A equação dada é
(2 r^2 costheta sintheta + r costheta),dtheta + (4 r + sintheta - 2 r cos^2theta),d r = 0
Este é um caso clássico de equação diferencial de primeira ordem cujo método envolve verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial ψ(r,\theta) tal que dψ=0.

Passo 2

Primeiro vamos verificar exatidão. Definimos
M(theta,r)=2r^2costhetasintheta + rcostheta, N(theta,r)=4r+sintheta-2rcos^2theta
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial r=4rcosthetasintheta+costheta,
partial Npartial theta=costheta+4rcosthetasintheta
Como partial M/partial r=partial N/partial theta, a equação é exata.

Passo 3

Agora, para encontrar ψ, integramos M em relação a theta, tratando r como constante:
ψ(r,theta)=integral(2r^2costhetasintheta + rcostheta),dtheta = r^2sin^2theta + rsintheta + h(r),
onde h(r) é uma função a determinar.

Passo 4

Em seguida, diferenciamos ψ em relação a r e igualamos a N:
partial ψpartial r=2rsin^2theta+sintheta+h'(r)=4r+sintheta-2rcos^2theta
Simplificando, obtemos
h'(r)=4r-2r(sin^2theta+cos^2theta)=2r,
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h(r)=integral2r,dr=r^2
Assim,
ψ(r,theta)=r^2sin^2theta+rsintheta+r^2

Passo 5

Como a solução geral de uma equação exata é dada por ψ(r,theta)=C, concluímos que a família de curvas solução é dada por
r^2(1+sin^2theta)+rsintheta=C,
onde C é constante de integração.

Resposta

r{2}(1+\sin{2}\theta)+r\sin\theta=C

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