Resolva a equação diferencial dada.
Passo 1
A equação dada é
Este é um caso clássico de equação diferencial de primeira ordem cujo método envolve verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial ψ(r,\theta) tal que dψ=0.
Passo 2
Primeiro vamos verificar exatidão. Definimos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
Passo 3
Agora, para encontrar ψ, integramos M em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Em seguida, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando, obtemos
logo
Assim,
Passo 5
Como a solução geral de uma equação exata é dada por
, concluímos que a família de curvas solução é dada por
onde
é constante de integração.
Resposta
r{2}(1+\sin{2}\theta)+r\sin\theta=C