Resolva a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem dada por \(2x+y+1),y’=1\ . Isso cai no conteúdo de equações exatas e fator integrante, pois não é separável nem linear diretamente.
Passo 2
Reescrevemos a equação na forma diferencial padrão
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
Passo 3
Verificamos se é exata: checamos \partial M/\partial y = 0\ e \partial N/\partial x = 2\, não são iguais. Buscamos um fator integrante \mu(y)\ dependente só de y. A condição é
$
que é função só de y, então existe \mu(y)\ tal que
$
que é função só de y, então existe \mu(y)\ tal que
$
Passo 4
Multiplicamos toda a EDO por \mu(y)=e^{-2y}\ e obtemos a forma exata
$
Agora \partial ( -e^{-2y})/\partial y = 2e^{-2y}\ e \partial ((2x+y+1)e^{-2y})/\partial x = 2e^{-2y},\ iguais, logo exata.
Agora \partial ( -e^{-2y})/\partial y = 2e^{-2y}\ e \partial ((2x+y+1)e^{-2y})/\partial x = 2e^{-2y},\ iguais, logo exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial \psi(x,y)\ tal que
$
integrando em x:
$
integrando em x:
$
Derivando em y e igualando a $N$ multiplicado pelo fator integrante:
$$
\frac{\partial \psi}{\partial y} = 2x e^{-2y} + h’(y) = (2x+y+1)e^{-2y}.$$
Logo
$
Logo
$
Integrando em y por partes:
$
Passo 6
A solução geral é dada por \psi(x,y)=C. Substituindo \psi\ e reorganizando, obtemos
$
onde \C’\ é constante arbitrária. Essa é a solução implícita geral.
onde \C’\ é constante arbitrária. Essa é a solução implícita geral.
Resposta
(4x + 2y + 3)e^{-2y} = C