Resolva a equação diferencial dada.
(2 x+y+1) y^prime=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem dada por \(2x+y+1),y’=1\ . Isso cai no conteúdo de equações exatas e fator integrante, pois não é separável nem linear diretamente.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma diferencial padrão
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y) = -1, N(x,y) = 2x+y+1

Passo 3

Verificamos se é exata: checamos \partial M/\partial y = 0\ e \partial N/\partial x = 2\, não são iguais. Buscamos um fator integrante \mu(y)\ dependente só de y. A condição é
$ partial N/partial x - partial M/partial yM = 2 - 0-1 = -2,
que é função só de y, então existe \mu(y)\ tal que
$ dmudy = -2mu ,impliesmu(y)=e^-2y

Passo 4

Multiplicamos toda a EDO por \mu(y)=e^{-2y}\ e obtemos a forma exata
$ -e^-2ydx + (2x+y+1)e^-2ydy = 0
Agora \partial ( -e^{-2y})/\partial y = 2e^{-2y}\ e \partial ((2x+y+1)e^{-2y})/\partial x = 2e^{-2y},\ iguais, logo exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial \psi(x,y)\ tal que
$ partial psipartial x = -e^-2y,
integrando em x:
$ psi(x,y) = -x e^-2y + h(y)
Derivando em y e igualando a $N$ multiplicado pelo fator integrante:
$$
\frac{\partial \psi}{\partial y} = 2x e^{-2y} + h’(y) = (2x+y+1)e^{-2y}.$$
Logo
$ N
Integrando em y por partes:
$ partial psipartial y = 2x e^-2y + h'(y) = (2x+y+1)e^-2y

Passo 6

A solução geral é dada por \psi(x,y)=C. Substituindo \psi\ e reorganizando, obtemos
$ (4x + 2y + 3)e^-2y = C',
onde \C’\ é constante arbitrária. Essa é a solução implícita geral.

Resposta

(4x + 2y + 3)e^{-2y} = C

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