Resolva a equação diferencial dada.
t d Qd t+Q=t^4 ln t

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial t,dQdt + Q = t^4ln t. Esse é um problema de equação diferencial linear de primeira ordem, e vamos precisar do método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, colocamos em forma padrão dividindo tudo por t (supondo t>0):
dQdt + 1tQ = t^3ln t

Passo 3

O coeficiente de Q é P(t)=1/t, então o fator integrante é
mu(t)=e^integral P(t),dt=e^integral 1t,dt=e^ln t=t

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(t)=t. O lado esquerdo vira derivada do produto:
tdQdt+Q=ddtl(tQr)
e o lado direito fica tcdot t^3ln t=t^4ln t. Assim,
ddtl(tQr)=t^4ln t

Passo 5

Agora integramos em relação a t:
tQ=integral t^4ln t,dt + C
Para calcular integral t^4ln t,dt, usamos integração por partes com u=ln t e dv=t^4dt. Então du=tfrac1tdt e v=tfract^55. Ficamos com
integral t^4ln t,dt=t^55ln t-integral t^55cdot1tdt=t^55ln t-15integral t^4dt=t^55ln t-t^525

Passo 6

Substituindo de volta em tQ e isolando Q, obtemos
tQ=t^55ln t-t^525+Cimplies Q=1tl(t^55ln t-t^525+Cr)=t^45ln t-t^425+Ct

Resposta

Q(t)=t^45ln t-t^425+Ct

Exercícios relacionados