Resolva a equação diferencial dada por separação de variável.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem dydx=sin xl(cos(2y)-cos^2yr) por separação de variáveis. Vamos usar conceitos de ODEs separáveis e integração.

Passo 2

Separe as variáveis colocando termos em y de um lado e em x do outro:
dycos(2y)-cos^2y=sin x,dx

Passo 3

Simplifique o denominador em função de y. Usando cos(2y)=2cos^2y-1 temos:
cos(2y)-cos^2y=(2cos^2y-1)-cos^2y=cos^2y-1=-sin^2y
Logo a integral fica integraldy-sin^2y=integralsin x,dx, ou seja integral-csc^2y,dy=integralsin x,dx.

Passo 4

Integre ambos os lados. Sabendo que ddy(cot y)=-csc^2y e integralsin x,dx=-cos x, obtemos:
cot y=-cos x + C

Passo 5

Reescreva a solução de forma implícita reunindo a constante geral:
cot y + cos x = C

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por cot y + cos x = C, onde C é constante de integração.

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