Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: $ x,dx + (y - 2x),dy = 0 $. O conteúdo que vamos mexer aqui é equações diferenciais, mais especificamente equações de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais claro o que estamos lidando. Podemos dividir ambos os lados por $ dx $ para obter a forma tradicional de uma equação diferencial:
dx
Isso nos dá:
x + (y - 2x)dydx = 0

Passo 3

Agora, vamos tentar identificar se essa equação é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos puderem ser expressos em termos de $ y/x $. Para isso, vamos fazer uma substituição onde $ v = y/x $. Isso significa que $ y = v,x $.

Passo 4

Com $ y = v,x $, precisamos encontrar $ \frac{dy}{dx} $. Usando a regra do produto:
y = v,x

Passo 5

Substituindo $ y = v,x $ e $ \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx} $ na equação original:
y = v,x
Simplificando o denominador:
dydx = v + xdvdx
Então, a equação fica:
v + xdvdx = -xv,x - 2x
Os $ x $ se cancelam:
v,x - 2x = x(v - 2)

Passo 6

Agora, vamos isolar $ x\frac{dv}{dx} $:
xdvdx
Para simplificar a expressão do lado direito, encontraremos um denominador comum:
xdvdx = -1v - 2 - v
Simplificando o numerador:
-1 - v(v - 2)v - 2 = -1 - v^2 + 2vv - 2
Então, temos:
-v^2 + 2v - 1

Passo 7

Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
v - 2-v^2 + 2v - 1 dv = dxx
Vamos simplificar o lado esquerdo. Note que o denominador pode ser fatorado ou simplificado. Observando o denominador:
-v^2 + 2v - 1 = -(v^2 - 2v + 1) = -(v - 1)^2
Então, a equação fica:
v - 2-(v - 1)^2 dv = dxx
Simplificando:
-v - 2(v - 1)^2 dv = dxx

Passo 8

Agora, vamos integrar ambos os lados. Primeiro, o lado esquerdo:
-integral v - 2(v - 1)^2 dv
Podemos simplificar a fração:
v - 2(v - 1)^2 = (v - 1) - 1(v - 1)^2 = 1v - 1 - 1(v - 1)^2
Então, a integral fica:
-integral ( 1v - 1 - 1(v - 1)^2 ) dv
Integrando termo a termo:
-( ln|v - 1| + 1v - 1 ) + C
Do lado direito, temos:
integral dxx = ln|x| + C

Passo 9

Igualando as integrais:
-ln|v - 1| - 1v - 1 = ln|x| + C
Agora, substituímos $ v = \frac{y}{x} $:
v = yx
Simplificando:
-ln|yx - 1| - 1yx - 1 = ln|x| + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
-ln|y - xx| - xy - x = ln|x| + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

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