Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: $ x,dx + (y - 2x),dy = 0 $. O conteúdo que vamos mexer aqui é equações diferenciais, mais especificamente equações de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais claro o que estamos lidando. Podemos dividir ambos os lados por $ dx $ para obter a forma tradicional de uma equação diferencial:
Isso nos dá:
Passo 3
Agora, vamos tentar identificar se essa equação é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos puderem ser expressos em termos de $ y/x $. Para isso, vamos fazer uma substituição onde $ v = y/x $. Isso significa que $ y = v,x $.
Passo 4
Com $ y = v,x $, precisamos encontrar $ \frac{dy}{dx} $. Usando a regra do produto:
Passo 5
Substituindo $ y = v,x $ e $ \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx} $ na equação original:
Simplificando o denominador:
Então, a equação fica:
Os $ x $ se cancelam:
Passo 6
Agora, vamos isolar $ x\frac{dv}{dx} $:
Para simplificar a expressão do lado direito, encontraremos um denominador comum:
Simplificando o numerador:
Então, temos:
Passo 7
Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
Vamos simplificar o lado esquerdo. Note que o denominador pode ser fatorado ou simplificado. Observando o denominador:
Então, a equação fica:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos integrar ambos os lados. Primeiro, o lado esquerdo:
Podemos simplificar a fração:
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Do lado direito, temos:
Passo 9
Igualando as integrais:
Agora, substituímos $ v = \frac{y}{x} $:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é a constante de integração.