Resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
\frac{d y}{d x}=\left(\frac{2 y+3}{4 x+5}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial por separação de variáveis. A equação dada é
\frac{d y}{d x}=\left(\frac{2 y+3}{4 x+5}\right)^{2}.
Informações relevantes que temos:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação está expressa como derivada \dfrac{dy}{dx} em função de x e y.
  • Note que a expressão contém denominadores 4x+5 e 2y+3; pontos onde esses denominadores sejam zero precisam ser observados (podem gerar restrições de domínio ou soluções particulares).
    O objetivo é encontrar a família de soluções y(x) que satisfaz a equação diferencial (incluindo possíveis soluções constantes especiais).

Passo 2

Verificamos se a equação é separável: queremos escrever termos contendo y multiplicando dy de um lado e termos contendo x multiplicando dx do outro. Começamos reescrevendo a equação e isolando fatores:
\frac{dy}{dx}=\frac{(2y+3)^{2}}{(4x+5)^{2}}.
Dividindo ambos os lados por (2y+3)^{2} e multiplicando por dx, obtemos
\frac{dy}{(2y+3)^{2}}=\frac{dx}{(4x+5)^{2}}.
Esse é o passo de separação de variáveis: o lado esquerdo depende só de y e o lado direito só de x. Agora podemos integrar ambos os lados.

Passo 3

Integramos ambos os lados. Vamos fazer passo a passo o lado esquerdo:
\int \frac{dy}{(2y+3)^{2}}.
Fazemos a substituição u=2y+3. Então du=2\,dy ou dy=\dfrac{du}{2}. Substituindo,
\int \frac{dy}{(2y+3)^{2}}=\int \frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int u^{-2}\,du.
Agora integramos u^{-2}: \int u^{-2}\,du = -u^{-1}+C. Assim
\int \frac{dy}{(2y+3)^{2}}=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{u}\right)+C_{1}=-\frac{1}{2u}+C_{1}.
Voltando à variável y ( u=2y+3 ):
\int \frac{dy}{(2y+3)^{2}}=-\frac{1}{2(2y+3)}+C_{1}.

Passo 4

Agora o lado direito:
\int \frac{dx}{(4x+5)^{2}}.
Fazemos substituição v=4x+5. Então dv=4\,dx ou dx=\dfrac{dv}{4}. Substituindo,
\int \frac{dx}{(4x+5)^{2}}=\int \frac{1}{v^{2}}\cdot\frac{dv}{4}=\frac{1}{4}\int v^{-2}\,dv.
Integrando v^{-2}: \int v^{-2}\,dv = -v^{-1}+C. Logo
\int \frac{dx}{(4x+5)^{2}}=\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{v}\right)+C_{2}=-\frac{1}{4v}+C_{2}.
Voltando a x ( v=4x+5 ):
\int \frac{dx}{(4x+5)^{2}}=-\frac{1}{4(4x+5)}+C_{2}.

Passo 5

Igualando as duas integrais (esquema: integral esquerda = integral direita) e juntando constantes, obtemos
-\frac{1}{2(2y+3)}+C_{1}=-\frac{1}{4(4x+5)}+C_{2}.
Subtraindo C_{1} dos dois lados e definindo C=C_{2}-C_{1} (constante arbitrária), temos
-\frac{1}{2(2y+3)}=-\frac{1}{4(4x+5)}+C.
Multiplicando por -1,
\frac{1}{2(2y+3)}=\frac{1}{4(4x+5)}-C.
Renomeando a constante -C por C_{0} (ainda uma constante arbitrária), podemos escrever de forma mais simples
\frac{1}{2(2y+3)}=\frac{1}{4(4x+5)}+C_{0}.

Passo 6

Isolamos y. Primeiro escrevemos o lado direito com denominador simples:
\frac{1}{2(2y+3)}=\frac{1}{8x+10}+C_{0}.
Multiplicando ambos os lados por 2:
\frac{1}{2y+3}=\frac{1}{8x+10}+2C_{0}.
Chame C a constante 2C_{0} (nova constante arbitrária). Então
\frac{1}{2y+3}=\frac{1}{8x+10}+C.
Agora invertendo os dois lados (tome cuidado: inversão válida quando o lado direito \neq 0; trataremos a solução constante separadamente):
2y+3=\frac{1}{\dfrac{1}{8x+10}+C}=\frac{8x+10}{C(8x+10)+1}.
Finalmente, isolando y,
y(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{8x+10}{C(8x+10)+1}-3\right),
onde C é uma constante arbitrária real.

Passo 7

Devemos também checar soluções constantes e restrições de domínio:
  • A equação original exige 4x+5\neq 0, portanto x\neq -\dfrac{5}{4}.
  • Se y for constante y\equiv -\dfrac{3}{2}, então 2y+3=0 e a derivada \dfrac{dy}{dx}=0 satisfaz a equação (o lado direito é zero). Assim y\equiv -\dfrac{3}{2} é uma solução particular (solução singular) que não aparece como escolha finita de C na forma explícita anterior. Deve ser incluída entre as soluções.
  • A constante C pode ser qualquer número real tal que o denominador C(8x+10)+1\neq0 para os x considerados; isso corresponde à condição de evitar pontos onde a expressão para y(x) explode.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{8x+10}{C(8x+10)+1}-3\right),\quad C\in\mathbb{R}
y(x)\equiv -\dfrac{3}{2}

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