Resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial por separação de variáveis. A equação dada é
Informações relevantes que temos:
- A incógnita é a função
. - A equação está expressa como derivada
em função de e . - Note que a expressão contém denominadores
e ; pontos onde esses denominadores sejam zero precisam ser observados (podem gerar restrições de domínio ou soluções particulares).
O objetivo é encontrar a família de soluçõesque satisfaz a equação diferencial (incluindo possíveis soluções constantes especiais).
Passo 2
Verificamos se a equação é separável: queremos escrever termos contendo
multiplicando
de um lado e termos contendo
multiplicando
do outro. Começamos reescrevendo a equação e isolando fatores:
Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
, obtemos
Esse é o passo de separação de variáveis: o lado esquerdo depende só de
e o lado direito só de
. Agora podemos integrar ambos os lados.
Passo 3
Integramos ambos os lados. Vamos fazer passo a passo o lado esquerdo:
Fazemos a substituição
. Então
ou
. Substituindo,
Agora integramos
:
. Assim
Voltando à variável
(
):
Passo 4
Agora o lado direito:
Fazemos substituição
. Então
ou
. Substituindo,
Integrando
:
. Logo
Voltando a
(
):
Passo 5
Igualando as duas integrais (esquema: integral esquerda = integral direita) e juntando constantes, obtemos
Subtraindo
dos dois lados e definindo
(constante arbitrária), temos
Multiplicando por
,
Renomeando a constante
por
(ainda uma constante arbitrária), podemos escrever de forma mais simples
Passo 6
Isolamos
. Primeiro escrevemos o lado direito com denominador simples:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Chame
a constante
(nova constante arbitrária). Então
Agora invertendo os dois lados (tome cuidado: inversão válida quando o lado direito
; trataremos a solução constante separadamente):
Finalmente, isolando
,
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 7
Devemos também checar soluções constantes e restrições de domínio:
- A equação original exige
, portanto . - Se
for constante , então e a derivada satisfaz a equação (o lado direito é zero). Assim é uma solução particular (solução singular) que não aparece como escolha finita de na forma explícita anterior. Deve ser incluída entre as soluções. - A constante
pode ser qualquer número real tal que o denominador para os considerados; isso corresponde à condição de evitar pontos onde a expressão para explode.