Qual o resto da divisão do polinômio x^{26}-x^{25}-6 x^{24}+5 x^{4}-16 x^{3}+3 x^{2} pelo polinômio x^{3}-3 x^{2}-x+3 ?
(A) x^{2}+x-2
(B) 6 x^{2}-4 x+3
(C) 3 x-9
(D) 6 x^{2}-17 x-3
(E) 6 x+1

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o resto da divisão do polinômio
P(x)=x^{26}-x^{25}-6x^{24}+5x^{4}-16x^{3}+3x^{2}
pelo polinômio
Q(x)=x^{3}-3x^{2}-x+3.
Informações relevantes dadas:
  • O dividendo é P(x) (polinômio de grau 26).
  • O divisor é Q(x) (polinômio de grau 3).
  • O resto terá grau menor que 3, isto é, será um polinômio da forma R(x)=ax^{2}+bx+c.
  • Objetivo: determinar R(x).

Passo 2

Primeira ideia útil (que facilita muito): fatorar Q(x) para encontrar suas raízes. Se Q(x) fatorar como produto de fatores lineares, podemos usar os valores das raízes para determinar o resto.
Fatorando por agrupamento:
Q(x)=x^{3}-3x^{2}-x+3 = x^{2}(x-3)-1(x-3)=(x-3)(x^{2}-1).
E x^{2}-1 fatora como (x-1)(x+1). Portanto
Q(x)=(x-3)(x-1)(x+1).
As raízes de Q(x) são, então, x=3,\;x=1,\;x=-1.

Passo 3

Teorema que vamos usar (explicado com calma): se dividimos P(x)\) por \(Q(x)\) e escrevemos \[P(x)=Q(x)\cdot S(x)+R(x),
então, para qualquer raiz r de Q(x) (isto é, Q(r)=0), vale
P(r)=R(r).
Como R(x) tem grau menor que 3, podemos escrevê-la como
R(x)=ax^{2}+bx+c,
com coeficientes a,b,c desconhecidos. Usando as três raízes r=1,-1,3 obtemos três equações:
\begin{cases} a(1)^{2}+b(1)+c = P(1),\\[4pt] a(-1)^{2}+b(-1)+c = P(-1),\\[4pt] a(3)^{2}+b(3)+c = P(3). \end{cases}
Agora vamos calcular (P(1),P(-1),P(3)].]

Passo 4

Calcular P(1):
P(1)=1^{26}-1^{25}-6\cdot1^{24}+5\cdot1^{4}-16\cdot1^{3}+3\cdot1^{2}.
Como todas as potências de 1 valem 1, temos
P(1)=1-1-6+5-16+3.
Fazendo as somas passo a passo:
1-1=0,\quad 0-6=-6,\quad -6+5=-1,\quad -1-16=-17,\quad -17+3=-14.
Portanto
P(1)=-14.
Calcular P(-1):
P(-1)=(-1)^{26}-(-1)^{25}-6(-1)^{24}+5(-1)^{4}-16(-1)^{3}+3(-1)^{2}.
Avaliações: (-1)^{26}=1, (-1)^{25}=-1, (-1)^{24}=1, (-1)^{4}=1, (-1)^{3}=-1, (-1)^{2}=1. Substituindo:
P(-1)=1-(-1)-6\cdot1+5\cdot1-16\cdot(-1)+3\cdot1.
Isto é
P(-1)=1+1-6+5+16+3.
Somando:
1+1=2,\quad 2-6=-4,\quad -4+5=1,\quad 1+16=17,\quad 17+3=20.
Portanto
P(-1)=20.
Calcular P(3): aqui há uma simplificação ótima se observar os três primeiros termos juntos.
P(3)=3^{26}-3^{25}-6\cdot3^{24}+5\cdot3^{4}-16\cdot3^{3}+3\cdot3^{2}.
Nas três potências grandes, fatoramos 3^{24}:
3^{26}-3^{25}-6\cdot3^{24}=3^{24}\bigl(3^{2}-3-6\bigr)=3^{24}(9-3-6)=3^{24}\cdot 0=0.
Portanto os termos de alta potência se cancelam, sobrando só os termos menores:
P(3)=5\cdot3^{4}-16\cdot3^{3}+3\cdot3^{2}.
Calculando as potências: 3^{2}=9,\;3^{3}=27,\;3^{4}=81. Substituindo:
P(3)=5\cdot81-16\cdot27+3\cdot9=405-432+27.
E somando:
405-432=-27,\quad -27+27=0.
Portanto
P(3)=0.

Passo 5

Agora montamos o sistema para a,b,c\) usando \(R(r)=P(r)\): \[\begin{cases} a+b+c = -14,\\[4pt] a-b+c = 20,\\[4pt] 9a+3b+c = 0. \end{cases}
Resolvendo passo a passo:
  1. Somando a primeira e a segunda equações:
(a+b+c)+(a-b+c)=2a+2c = -14+20 = 6 \quad\Rightarrow\quad a+c=3.
  1. Subtraindo a segunda da primeira:
(a+b+c)-(a-b+c)=2b = -14-20 = -34 \quad\Rightarrow\quad b=-17.
  1. Usando a+c=3\] na terceira equação \(9a+3b+c=0. Substituindo b=-17 e c=3-a:
9a+3(-17)+(3-a)=0.
Isso dá
9a-51+3-a=0 \quad\Rightarrow\quad 8a-48=0 \quad\Rightarrow\quad a=6.
  1. Como a+c=3, temos c=3-a=3-6=-3.
Encontramos os coeficientes:
a=6,\quad b=-17,\quad c=-3.]

Resposta

6x^{2}-17x-3

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