Resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
\left(1+x^{2}+y^{2}+x^{2} y^{2}\right) d y=(y+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial por separação de variáveis. A equação dada é
\left(1+x^{2}+y^{2}+x^{2} y^{2}\right)\,dy=(y+1)\,dx.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A incógnita é y em função de x.
  • A equação é dada em forma diferencial relacionando dx e dy.
  • É pedido obter a solução geral (ou soluções singulares, se houver) usando separação de variáveis.

Passo 2

Observar uma fatoração útil no lado esquerdo. Note que
1+x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}=(1+x^{2})(1+y^{2}).
Verificação rápida: expandindo (1+x^{2})(1+y^{2}) obtém-se 1+x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}, que é exatamente o termo dado. Isso simplifica a equação.

Passo 3

Usando essa fatoração, a equação fica
(1+x^{2})(1+y^{2})\,dy=(y+1)\,dx.
Agora separamos as variáveis colocando todos os termos em y no lado esquerdo e os em x no direito. Dividindo por (1+x^{2})(y+1) (atenção: isso exige y\neq-1; o caso y\equiv-1 deve ser tratado separadamente) temos
\frac{1+y^{2}}{y+1}\,dy=\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados. Montamos a integral:
\int \frac{1+y^{2}}{y+1}\,dy=\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Explico a escolha: o lado direito é a integral clássica que dá \arctan x. O lado esquerdo é uma função racional em y; a técnica adequada é fazer divisão polinomial para escrever a função como soma de termos fáceis de integrar.

Passo 5

Fazer a divisão polinomial de y^{2}+1 por y+1. Procedimento:
  • y^{2} dividido por y y. Multiplicando y(y+1)=y^{2}+y. Subtrair: sobra -y+1.
  • -y dividido por y -1. Multiplicando -1(y+1)=-y-1. Subtrair: sobra 2.
    Logo
\frac{1+y^{2}}{y+1}=y-1+\frac{2}{y+1}.
Agora integramos termo a termo:
\int\left(y-1+\frac{2}{y+1}\right)\,dy=\int y\,dy-\int 1\,dy+2\int\frac{1}{y+1}\,dy.
Calculando:
\int y\,dy=\frac{y^{2}}{2},\qquad \int 1\,dy=y,\qquad \int\frac{1}{y+1}\,dy=\ln|y+1|.
Portanto a integral do lado esquerdo é
\frac{y^{2}}{2}-y+2\ln|y+1|.
A integral do lado direito é
\int\frac{1}{1+x^{2}}\,dx=\arctan x.

Passo 6

Igualando as duas integrais e adicionando a constante de integração C, obtemos a solução implícita geral (válida para y\neq-1):
\frac{y^{2}}{2}-y+2\ln|y+1|=\arctan x + C,
onde C é constante arbitrária real. Lembrar também da solução singular originada pelo fato de termos dividido por y+1: a função constante
y(x)\equiv -1
satisfaz a equação original (nesse caso dy=0 e o lado direito (y+1)\,dx também é zero), portanto é solução válida que não aparece pela divisão.

Resposta

\displaystyle \frac{y^{2}}{2}-y+2\ln|y+1|=\arctan x + C
\displaystyle y\equiv -1

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