Resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial por separação de variáveis. A equação dada é
Informações úteis extraídas do enunciado:
- A incógnita é
em função de . - A equação é dada em forma diferencial relacionando
e . - É pedido obter a solução geral (ou soluções singulares, se houver) usando separação de variáveis.
Passo 2
Observar uma fatoração útil no lado esquerdo. Note que
Verificação rápida: expandindo
obtém-se
, que é exatamente o termo dado. Isso simplifica a equação.
Passo 3
Usando essa fatoração, a equação fica
Agora separamos as variáveis colocando todos os termos em
no lado esquerdo e os em
no direito. Dividindo por
(atenção: isso exige
; o caso
deve ser tratado separadamente) temos
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados. Montamos a integral:
Explico a escolha: o lado direito é a integral clássica que dá
. O lado esquerdo é uma função racional em
; a técnica adequada é fazer divisão polinomial para escrever a função como soma de termos fáceis de integrar.
Passo 5
Fazer a divisão polinomial de
por
. Procedimento:
-
dividido por dá . Multiplicando . Subtrair: sobra . -
dividido por dá . Multiplicando . Subtrair: sobra .
Logo
Agora integramos termo a termo:
Calculando:
Portanto a integral do lado esquerdo é
A integral do lado direito é
Passo 6
Igualando as duas integrais e adicionando a constante de integração
, obtemos a solução implícita geral (válida para
):
onde
é constante arbitrária real. Lembrar também da solução singular originada pelo fato de termos dividido por
: a função constante
satisfaz a equação original (nesse caso
e o lado direito
também é zero), portanto é solução válida que não aparece pela divisão.