Resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei a equação do enunciado).
- Equação diferencial dada:
- O enunciado pede resolver a equação diferencial por separação de variáveis (ou, se for o caso, encontrar a solução geral da equação).
- Informações relevantes: a equação relaciona diferenteis
e de forma não óbvia separável; devemos verificar se é separável, ou então procurar uma substituição ou outro método (p. ex. transformação para equação exata, fator integrante, mudança de variáveis).
Passo 2
Verificar se a equação é separável na forma tradicional.
- Escrevendo a equação em forma de derivada
:
- Para ser separável precisamos conseguir escrever
, isto é, o lado direito separado em função só de vezes função só de . - Observando
, o denominador contém , que mistura e . Portanto a equação NÃO é separável diretamente (não dá para escrever como produto ).
Passo 3
Tentar transformar a equação para outra forma (trocar o papel de variável dependente/independente e procurar métodos).
- Podemos inverter a derivada e escrever
. Fazendo isso:
- Às vezes converter para
como função de torna a equação mais tratável (por ex. torna-a linear ou de Bernoulli). Vamos explorar essa forma com calma.
Passo 4
Examine se a equação em
é linear ou de Bernoulli.
- Escrevendo a expressão de forma mais explícita:
- Expandindo um pouco:
- A presença de termos como
e de produto com impede que a equação seja linear em (uma equação linear em teria a forma ). Também não se encaixa diretamente na forma de Bernoulli usual de modo óbvio.
Passo 5
Procurar substituições naturais que simplifiquem a mistura
.
- Uma escolha natural é definir
, porque esse termo aparece repetidamente. Vamos calcular :
- Usando
, temos
- Ainda temos
no lado direito; mas pode ser escrito como . Substituindo:
- Simplificando a fração:
portanto
- Essa equação ainda mistura
e de maneira não trivial; não é linear em nem separável diretamente.
Passo 6
Verificar possibilidade de fator integrante ou transformar em equação exata na forma diferencial
.
- Reescrevendo a equação original em forma diferencial:
Aqui
(coeficiente de
) e
(coeficiente de
).
- Para ser exata precisaríamos de
. Calculando:
portanto não é exata.
- Procurar um fator integrante que dependa de
somente ou de somente: para teríamos
o lado direito depende de
(pois
tem
), então não é função de
apenas. Para
o lado correspondente também depende de
. Portanto não existe fator integrante simples dependendo apenas de
ou apenas de
.
Passo 7
Conclusão parcial sobre métodos elementares
- A equação não é separável diretamente, nem exata, nem linear em
ou em de forma direta, e não admite fator integrante dependendo só de ou só de . - Tentativas naturais de substituição (por exemplo
, , etc.) levam a equações que ainda misturam e a nova variável de forma não trivial. Portanto a equação não cede facilmente a técnicas elementares padrão de separação direta.
Passo 8
Encontrar uma forma implícita da solução (integrais invariantes)
- Apesar de não ser separável no sentido clássico, é possível obter uma relação implícita integrando uma forma apropriada. Voltemos à reescrita
- Observe que o lado direito pode ser escrito como diferencial de uma função simples:
porque
- Assim a equação original fica
- Integrando ambos os lados ao longo da solução (isto é, considerando
e relacionados pela solução), obtemos a igualdade entre primitivos:
- O lado direito integra imediatamente:
onde
é constante de integração.
- O lado esquerdo deve ser integrado em relação a
. Porém é função de ao longo da solução; não podemos simplesmente integrar em sem conhecer . O que conseguimos, ainda assim, é escrever a relação de forma implícita rearranjando a igualdade de diferenciais:
Isso significa que a forma diferencial exata do tipo
pode ser buscada com
tal que
- Podemos tentar construir
integrando em :
- Agora impõe-se
. Isso só seria possível se o lado direito dependesse apenas de , mas ele depende de . Logo não existe função com separação simples que torne a forma exata com dependendo apenas de . Portanto a equação não possui uma primitiva do tipo simples .
Passo 9
Interpretação prática e forma final (solução implícita)
- O que conseguimos com o passo anterior é a identidade diferencial útil
- Integrando formalmente ao longo de uma curva solução (isso fornece uma relação implícita entre
e ), obtemos
- Essa é uma expressão correta, mas o termo
impede escrever a solução em forma explícita ou sem resolver uma equação integral/funcional adicional, porque depende de . Portanto a melhor forma que se obtém por métodos elementares é uma relação implícita que a solução deve satisfazer:
onde
é a integral da função desconhecida
em relação a
; essa expressão é formal e lembra que a solução
tem que satisfazer essa relação.
Passo 10
Conclusão prática e recomendações para a prova
- Conclusão: a equação dada não é separável no sentido clássico. Ela também não se reduz diretamente a uma equação exata simples nem a uma linear de primeira ordem por substituições triviais. Portanto não existe uma solução explícita elementar
obtida por separação de variáveis. - Em exames, quando o enunciado pede “resolva por separação de variável”, é comum que a equação realmente deva ser separável; aqui, como não é, deve-se:
- mostrar claramente (como fiz nos Passos 2–3) que não é separável;
- tentar substituições naturais (como
ou ) e verificar que não transformam a equação numa separável/linear simples; - apresentar a forma implícita consequente da manipulação de diferenciais, isto é
e escrever a relação integral implícita
- Se o objetivo for obter
explicitamente, será necessário recorrer a métodos numéricos ou a técnicas mais avançadas (por exemplo, tentativa de fator integrante não elemental, ou tratamento como equação de Riccati/qualquer redução apropriada), que fogem da separação direta.
Resposta
A equação não é separável; a relação implícita que a solução deve satisfazer é
isto é,
onde
é constante de integração.