Resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
2(x+1)\left(x+y^{2}\right) d y=x d x

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei a equação do enunciado).
  • Equação diferencial dada: 2(x+1)\bigl(x+y^{2}\bigr)\,d y = x\,d x.
  • O enunciado pede resolver a equação diferencial por separação de variáveis (ou, se for o caso, encontrar a solução geral da equação).
  • Informações relevantes: a equação relaciona diferenteis d x e d y de forma não óbvia separável; devemos verificar se é separável, ou então procurar uma substituição ou outro método (p. ex. transformação para equação exata, fator integrante, mudança de variáveis).

Passo 2

Verificar se a equação é separável na forma tradicional.
  • Escrevendo a equação em forma de derivada \dfrac{d y}{d x}:
2(x+1)\bigl(x+y^{2}\bigr)\,\dfrac{d y}{d x} = x \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{d y}{d x} = \dfrac{x}{2(x+1)(x+y^{2})}.
  • Para ser separável precisamos conseguir escrever \dfrac{d y}{d x}=f(x)\,g(y), isto é, o lado direito separado em função só de x vezes função só de y.
  • Observando \dfrac{x}{2(x+1)(x+y^{2})}, o denominador contém x+y^{2}, que mistura x e y. Portanto a equação NÃO é separável diretamente (não dá para escrever como produto A(x)\cdot B(y)).

Passo 3

Tentar transformar a equação para outra forma (trocar o papel de variável dependente/independente e procurar métodos).
  • Podemos inverter a derivada e escrever \dfrac{d x}{d y}. Fazendo isso:
\dfrac{d x}{d y} = \dfrac{2(x+1)(x+y^{2})}{x}.
  • Às vezes converter para x como função de y torna a equação mais tratável (por ex. torna-a linear ou de Bernoulli). Vamos explorar essa forma com calma.

Passo 4

Examine se a equação em x(y) é linear ou de Bernoulli.
  • Escrevendo a expressão de forma mais explícita:
\dfrac{d x}{d y} = \dfrac{2(x+1)(x+y^{2})}{x} = 2\Bigl(x+y^{2}\Bigr)\frac{x+1}{x}.
  • Expandindo um pouco:
\dfrac{d x}{d y} = 2(x+y^{2})\Bigl(1 + \dfrac{1}{x}\Bigr) = 2(x+y^{2}) + \dfrac{2(x+y^{2})}{x}.
  • A presença de termos como \dfrac{1}{x} e de produto com y^{2} impede que a equação seja linear em x (uma equação linear em x teria a forma \dfrac{dx}{dy}+P(y)x=Q(y)). Também não se encaixa diretamente na forma de Bernoulli usual \dfrac{dx}{dy}+P(y)x=Q(y)x^n de modo óbvio.

Passo 5

Procurar substituições naturais que simplifiquem a mistura x+y^{2}.
  • Uma escolha natural é definir u = x + y^{2}, porque esse termo aparece repetidamente. Vamos calcular du/dy:
u = x + y^{2}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{d u}{d y} = \dfrac{d x}{d y} + 2y.
  • Usando \dfrac{d x}{d y} = \dfrac{2(x+1)(x+y^{2})}{x} = \dfrac{2(x+1)u}{x}, temos
\dfrac{d u}{d y} = \dfrac{2(x+1)u}{x} + 2y.
  • Ainda temos x no lado direito; mas x pode ser escrito como x = u - y^{2}. Substituindo:
\dfrac{d u}{d y} = \dfrac{2\bigl(u - y^{2} + 1\bigr)u}{u - y^{2}} + 2y.
  • Simplificando a fração:
\dfrac{u - y^{2} + 1}{u - y^{2}} = 1 + \dfrac{1}{u - y^{2}},
portanto
\dfrac{d u}{d y} = 2u + \dfrac{2u}{u - y^{2}} + 2y.
  • Essa equação ainda mistura u e y de maneira não trivial; não é linear em u nem separável diretamente.

Passo 6

Verificar possibilidade de fator integrante ou transformar em equação exata na forma diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
  • Reescrevendo a equação original em forma diferencial:
- x\,d x + 2(x+1)(x+y^{2})\,d y = 0.
Aqui M(x,y) = -x (coeficiente de d x) e N(x,y) = 2(x+1)(x+y^{2}) (coeficiente de d y).
  • Para ser exata precisaríamos de \dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}. Calculando:
\dfrac{\partial M}{\partial y} = 0,\qquad \dfrac{\partial N}{\partial x} = 2\cdot\bigl(1\cdot(x+y^{2}) + (x+1)\cdot 1\bigr) = 4x + 2y^{2} + 2,
portanto não é exata.
  • Procurar um fator integrante que dependa de x somente ou de y somente: para \mu(x) teríamos
\dfrac{\mu'(x)}{\mu(x)} = \dfrac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N},
o lado direito depende de y (pois \partial N/\partial x tem y^{2}), então não é função de x apenas. Para \mu(y) o lado correspondente também depende de x. Portanto não existe fator integrante simples dependendo apenas de x ou apenas de y.

Passo 7

Conclusão parcial sobre métodos elementares
  • A equação não é separável diretamente, nem exata, nem linear em x(y) ou em y(x) de forma direta, e não admite fator integrante dependendo só de x ou só de y.
  • Tentativas naturais de substituição (por exemplo u=x+y^{2}, x=y^{2}v, etc.) levam a equações que ainda misturam y e a nova variável de forma não trivial. Portanto a equação não cede facilmente a técnicas elementares padrão de separação direta.

Passo 8

Encontrar uma forma implícita da solução (integrais invariantes)
  • Apesar de não ser separável no sentido clássico, é possível obter uma relação implícita integrando uma forma apropriada. Voltemos à reescrita
2(x+y^{2})\,d y = \dfrac{x}{x+1}\,d x.
  • Observe que o lado direito pode ser escrito como diferencial de uma função simples:
\dfrac{x}{x+1}\,d x = d\!\bigl(x - \ln(x+1)\bigr),
porque
d\!\bigl(x - \ln(x+1)\bigr) = \Bigl(1 - \dfrac{1}{x+1}\Bigr)d x = \dfrac{x}{x+1}\,d x.
  • Assim a equação original fica
2(x+y^{2})\,d y = d\!\bigl(x - \ln(x+1)\bigr).
  • Integrando ambos os lados ao longo da solução (isto é, considerando x e y relacionados pela solução), obtemos a igualdade entre primitivos:
\int 2(x+y^{2})\,d y \;=\; \int d\!\bigl(x - \ln(x+1)\bigr).
  • O lado direito integra imediatamente:
\int d\!\bigl(x - \ln(x+1)\bigr) = x - \ln(x+1) + C,
onde C é constante de integração.
  • O lado esquerdo deve ser integrado em relação a y. Porém x é função de y ao longo da solução; não podemos simplesmente integrar 2(x+y^{2}) em y sem conhecer x(y). O que conseguimos, ainda assim, é escrever a relação de forma implícita rearranjando a igualdade de diferenciais:
d\!\bigl(x - \ln(x+1)\bigr) - 2(x+y^{2})\,d y = 0.
Isso significa que a forma diferencial exata do tipo d\Phi(x,y)=0 pode ser buscada com \Phi tal que
\dfrac{\partial \Phi}{\partial x} = 1 - \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{x}{x+1}, \qquad \dfrac{\partial \Phi}{\partial y} = -2(x+y^{2}).
  • Podemos tentar construir \Phi integrando \partial \Phi/\partial x em x:
\Phi(x,y) = \int \dfrac{x}{x+1}\,d x + g(y) = x - \ln(x+1) + g(y).
  • Agora impõe-se \dfrac{\partial \Phi}{\partial y} = g'(y) = -2(x+y^{2}). Isso só seria possível se o lado direito dependesse apenas de y, mas ele depende de x. Logo não existe função \Phi com separação simples que torne a forma exata com g dependendo apenas de y. Portanto a equação não possui uma primitiva \Phi(x,y) do tipo simples x - \ln(x+1) + g(y).

Passo 9

Interpretação prática e forma final (solução implícita)
  • O que conseguimos com o passo anterior é a identidade diferencial útil
d\!\bigl(x - \ln(x+1)\bigr) = 2(x+y^{2})\,d y.
  • Integrando formalmente ao longo de uma curva solução (isso fornece uma relação implícita entre x e y), obtemos
x - \ln(x+1) = 2\int (x+y^{2})\,d y + C.
  • Essa é uma expressão correta, mas o termo \int x\,d y impede escrever a solução em forma explícita x=F(y) ou y=G(x) sem resolver uma equação integral/funcional adicional, porque x depende de y. Portanto a melhor forma que se obtém por métodos elementares é uma relação implícita que a solução deve satisfazer:
x - \ln(x+1) - 2\int x(y)\,d y - \dfrac{2}{3}y^{3} = C.
onde \int x(y)\,d y é a integral da função desconhecida x em relação a y; essa expressão é formal e lembra que a solução x(y) tem que satisfazer essa relação.

Passo 10

Conclusão prática e recomendações para a prova
  • Conclusão: a equação dada não é separável no sentido clássico. Ela também não se reduz diretamente a uma equação exata simples nem a uma linear de primeira ordem por substituições triviais. Portanto não existe uma solução explícita elementar y(x) obtida por separação de variáveis.
  • Em exames, quando o enunciado pede “resolva por separação de variável”, é comum que a equação realmente deva ser separável; aqui, como não é, deve-se:
    1. mostrar claramente (como fiz nos Passos 2–3) que não é separável;
    2. tentar substituições naturais (como u=x+y^{2} ou x=y^{2}v) e verificar que não transformam a equação numa separável/linear simples;
    3. apresentar a forma implícita consequente da manipulação de diferenciais, isto é
d\!\bigl(x - \ln(x+1)\bigr) = 2(x+y^{2})\,d y,
e escrever a relação integral implícita
x - \ln(x+1) = 2\int (x+y^{2})\,d y + C.
  • Se o objetivo for obter y(x) explicitamente, será necessário recorrer a métodos numéricos ou a técnicas mais avançadas (por exemplo, tentativa de fator integrante não elemental, ou tratamento como equação de Riccati/qualquer redução apropriada), que fogem da separação direta.

Resposta

A equação não é separável; a relação implícita que a solução deve satisfazer é
x - \ln(x+1) = 2\int (x+y^{2})\,d y + C,
isto é,
x - \ln(x+1) - 2\int x(y)\,d y - \dfrac{2}{3}y^{3} = C,
onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados