Resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
\frac{d y}{d x}=e^{-3 y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada:
\frac{dy}{dx}=e^{-3y}.
Informações relevantes do enunciado:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação relaciona a derivada \dfrac{dy}{dx} com y apenas (lado direito depende só de y).
  • Não há condição inicial fornecida, então devemos obter a família geral de soluções com uma constante arbitrária.

Passo 2

Observação sobre o método: como o lado direito depende apenas de y, podemos usar o método de separação de variáveis. Ideia do método (passo a passo didático, sem pular etapas):
  • “Separar variáveis” significa reorganizar a equação de modo que todos os termos com y fiquem multiplicando dy num lado e todos os termos com x (ou dx) fiquem no outro lado.
  • Depois integra-se ambos os lados em relação às suas variáveis correspondentes.
Vou fazer essa separação a partir da equação original. Começo escrevendo:
\frac{dy}{dx}=e^{-3y}.
Multiplico ambos os lados por e^{3y} (isso é legal porque e^{3y} é sempre positivo) e por dx, obtendo:
e^{3y}\,\frac{dy}{dx}=1
e, reorganizando os diferenciais,
e^{3y}\,dy = dx.
Agora as variáveis estão separadas: todo termo com y está junto de dy e do outro lado está dx.

Passo 3

Integração dos dois lados. Integro ambos os membros com respeito às suas variáveis:
\int e^{3y}\,dy = \int dx.
Preciso calcular a integral no lado esquerdo. Faço uma mudança simples (ou reconheço a primitiva direta): se u=3y então du=3\,dy ou dy=\dfrac{du}{3}. Assim
\int e^{3y}\,dy = \int e^{u}\cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int e^{u}\,du = \frac{1}{3}e^{u} + C_1 = \frac{1}{3}e^{3y} + C_1.
No lado direito,
\int dx = x + C_2.
Juntando os dois (posso combinar as constantes numa só), obtenho
\frac{1}{3}e^{3y} + C_1 = x + C_2.
Subtraindo C_1 dos dois lados e renomeando a constante resultante como C (constante arbitrária), fica
\frac{1}{3}e^{3y} = x + C.

Passo 4

Resolver para y. Multiplico ambos os lados por 3:
e^{3y} = 3x + C_1,
onde C_1=3C é outra constante arbitrária (poderia chamar simplesmente de C também; o importante é lembrar que é uma constante). Agora aplico logaritmo natural para “desfazer” a exponencial:
3y = \ln\!\bigl(3x + C_1\bigr).
Dividindo por 3,
y(x) = \frac{1}{3}\ln\!\bigl(3x + C_1\bigr).
Observação sobre domínio: para que \ln(3x+C_1) seja definido realmente, é preciso ter
3x + C_1 > 0.
Essa desigualdade determina o domínio em x de cada solução concreta (dependendo do valor da constante C_1).

Passo 5

Verificação rápida (pra ficar seguro e saber como checar na prova). Diferencio a solução encontrada e comparo com o lado direito da equação original. Começo com
y(x)=\frac{1}{3}\ln\!\bigl(3x + C_1\bigr).
Derivando,
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3x+C_1}\cdot 3 = \frac{1}{3x + C_1}.
Agora calculo e^{-3y} usando a solução:
e^{-3y}=e^{-3\cdot\frac{1}{3}\ln(3x+C_1)}=e^{-\ln(3x+C_1)}=\frac{1}{3x + C_1}.
Logo \dfrac{dy}{dx}=e^{-3y} é satisfeita, conferindo que a solução está correta (no intervalo em que 3x+C_1>0).

Passo 6

Notas finais e observações úteis para a prova (dicas rápidas):
  • Não existe solução constante (equilíbrio), pois para uma solução constante y=y_0 teríamos 0=\dfrac{dy}{dx}=e^{-3y_0}, o que é impossível porque e^{-3y_0}>0 para todo y_0.
  • Se na prova der uma condição inicial do tipo y(x_0)=y_0, basta substituir x=x_0 e y=y_0 em \dfrac{1}{3}e^{3y}=x+C ou em y=\tfrac{1}{3}\ln(3x+C_1) para determinar a constante C_1.
  • Sempre verifique o domínio imposto pela função logaritmo: 3x+C_1>0.

Resposta

y(x)=\frac{1}{3}\ln\!\bigl(3x + C\bigr)
com a condição de domínio \,3x + C>0.

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