Resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada:
Informações relevantes do enunciado:
- A incógnita é a função
. - A equação relaciona a derivada
com apenas (lado direito depende só de ). - Não há condição inicial fornecida, então devemos obter a família geral de soluções com uma constante arbitrária.
Passo 2
Observação sobre o método: como o lado direito depende apenas de
, podemos usar o método de separação de variáveis. Ideia do método (passo a passo didático, sem pular etapas):
- “Separar variáveis” significa reorganizar a equação de modo que todos os termos com
fiquem multiplicando num lado e todos os termos com (ou ) fiquem no outro lado. - Depois integra-se ambos os lados em relação às suas variáveis correspondentes.
Vou fazer essa separação a partir da equação original. Começo escrevendo:
Multiplico ambos os lados por
(isso é legal porque
é sempre positivo) e por
, obtendo:
e, reorganizando os diferenciais,
Agora as variáveis estão separadas: todo termo com
está junto de
e do outro lado está
.
Passo 3
Integração dos dois lados. Integro ambos os membros com respeito às suas variáveis:
Preciso calcular a integral no lado esquerdo. Faço uma mudança simples (ou reconheço a primitiva direta): se
então
ou
. Assim
No lado direito,
Juntando os dois (posso combinar as constantes numa só), obtenho
Subtraindo
dos dois lados e renomeando a constante resultante como
(constante arbitrária), fica
Passo 4
Resolver para
. Multiplico ambos os lados por
:
onde
é outra constante arbitrária (poderia chamar simplesmente de
também; o importante é lembrar que é uma constante). Agora aplico logaritmo natural para “desfazer” a exponencial:
Dividindo por
,
Observação sobre domínio: para que
seja definido realmente, é preciso ter
Essa desigualdade determina o domínio em
de cada solução concreta (dependendo do valor da constante
).
Passo 5
Verificação rápida (pra ficar seguro e saber como checar na prova). Diferencio a solução encontrada e comparo com o lado direito da equação original. Começo com
Derivando,
Agora calculo
usando a solução:
Logo
é satisfeita, conferindo que a solução está correta (no intervalo em que
).
Passo 6
Notas finais e observações úteis para a prova (dicas rápidas):
- Não existe solução constante (equilíbrio), pois para uma solução constante
teríamos , o que é impossível porque para todo . - Se na prova der uma condição inicial do tipo
, basta substituir e em ou em para determinar a constante . - Sempre verifique o domínio imposto pela função logaritmo:
.
Resposta
com a condição de domínio
.