Resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
e pede para encontrar a solução geral
. As informações relevantes são:
- A incógnita é a função
. - Não há condição inicial dada, portanto iremos obter a família geral de soluções com uma constante arbitrária.
Passo 2
Primeiro vamos isolar
para ver se dá para separar as variáveis. Dividindo ambos os lados por
(que é sempre positivo, então a divisão é válida), obtemos
Explico o passo:
porque ao dividir exponenciais com mesma base somam-se os expoentes (no caso, subtrai-se).
Passo 3
Agora separamos as variáveis: queremos colocar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro. A equação atual é
Multiplicando ambos os lados por
(novamente
, então é seguro), obtemos
Isto é a separação de variáveis: o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
.
Passo 4
Integramos os dois lados. Vou explicar como integrar as exponenciais:
- Para
, trate como a função . A primitiva é porque . - Para
, a primitiva é porque derivando se obtém .
Aplicando as integrais:
onde
é a constante de integração (real e arbitrária). Multiplicando por
,
Podemos reorganizar de forma simétrica:
Esta última é uma forma implícita da família de soluções.
Passo 5
Agora isolamos
de forma explícita. Para isso precisamos que o lado direito seja positivo (pois
sempre), ou seja
no domínio considerado. Tomando logaritmo natural:
portanto
com a condição de domínio
Comentário sobre a constante:
é uma constante real arbitrária que determina a curva; para existir solução real em certos
é preciso que
nesses
.
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): se derivarmos
e calcularmos
obtemos
, logo a solução encontrada satisfaz a equação original — a conta da verificação segue os passos padrão de derivação de
e manipulação de exponenciais (posso detalhar se quiser).
Força aí — você já tem a família de soluções e a condição de domínio; com uma condição inicial dá para fixar
.