Resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
e^{y} \frac{d y}{d x}=e^{-2 x-y}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
e^{y}\,\frac{dy}{dx}=e^{-2x-y},
e pede para encontrar a solução geral y(x). As informações relevantes são:
  • A incógnita é a função y(x).
  • Não há condição inicial dada, portanto iremos obter a família geral de soluções com uma constante arbitrária.

Passo 2

Primeiro vamos isolar \dfrac{dy}{dx} para ver se dá para separar as variáveis. Dividindo ambos os lados por e^{y} (que é sempre positivo, então a divisão é válida), obtemos
\frac{dy}{dx}= \frac{e^{-2x-y}}{e^{y}} = e^{-2x-2y}.
Explico o passo: e^{-2x-y}/e^{y}=e^{-2x-y-y}=e^{-2x-2y} porque ao dividir exponenciais com mesma base somam-se os expoentes (no caso, subtrai-se).

Passo 3

Agora separamos as variáveis: queremos colocar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro. A equação atual é
\frac{dy}{dx}=e^{-2x-2y}.
Multiplicando ambos os lados por e^{2y}\,dx (novamente e^{2y}>0, então é seguro), obtemos
e^{2y}\,dy = e^{-2x}\,dx.
Isto é a separação de variáveis: o lado esquerdo depende só de y e o direito só de x.

Passo 4

Integramos os dois lados. Vou explicar como integrar as exponenciais:
  • Para \int e^{2y}\,dy, trate 2y como a função u=2y. A primitiva é \tfrac{1}{2}e^{2y} porque \tfrac{d}{dy}\big(\tfrac{1}{2}e^{2y}\big)=\tfrac{1}{2}\cdot 2 e^{2y}=e^{2y}.
  • Para \int e^{-2x}\,dx, a primitiva é -\tfrac{1}{2}e^{-2x} porque derivando se obtém e^{-2x}.
Aplicando as integrais:
\int e^{2y}\,dy = \int e^{-2x}\,dx
\frac{1}{2}e^{2y} = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C,
onde C é a constante de integração (real e arbitrária). Multiplicando por 2,
e^{2y} = -e^{-2x} + C.
Podemos reorganizar de forma simétrica:
e^{2y} + e^{-2x} = C.
Esta última é uma forma implícita da família de soluções.

Passo 5

Agora isolamos y de forma explícita. Para isso precisamos que o lado direito seja positivo (pois e^{2y}>0 sempre), ou seja C - e^{-2x}>0 no domínio considerado. Tomando logaritmo natural:
2y = \ln\!\big(C - e^{-2x}\big),
portanto
y(x)=\frac{1}{2}\ln\!\big(C - e^{-2x}\big),
com a condição de domínio
C - e^{-2x}>0 \quad\text{(ou seja, \(C>e^{-2x}\) para os \(x\) considerados).}
Comentário sobre a constante: C é uma constante real arbitrária que determina a curva; para existir solução real em certos x é preciso que C>e^{-2x} nesses x.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): se derivarmos \displaystyle y=\tfrac{1}{2}\ln(C-e^{-2x}) e calcularmos e^{y}\,y' obtemos e^{-2x-y}, logo a solução encontrada satisfaz a equação original — a conta da verificação segue os passos padrão de derivação de \ln e manipulação de exponenciais (posso detalhar se quiser).
Força aí — você já tem a família de soluções e a condição de domínio; com uma condição inicial dá para fixar C.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{2}\ln\!\big(C - e^{-2x}\big),\quad com C constante arbitrária e C - e^{-2x}>0 no domínio considerado.

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