Resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva, por separação de variáveis, a equação diferencial
O que está pedido: encontrar a solução geral
(ou uma solução implícita) usando o método de separação de variáveis.
Informações dadas: a equação é uma equação de primeira ordem envolvendo e
; os termos explícitos são
,
e
. Não há condições iniciais fornecidas.
Informações dadas: a equação é uma equação de primeira ordem envolvendo
Passo 2
Primeiro passo prático: testar se a equação é efetivamente separável. Uma equação é separável quando pode ser escrita na forma
ou equivalentemente
ou seja, quando todos os fatores que dependem só de
ficam num lado e os que dependem só de
ficam no outro.
Começamos isolando
:
Para inspecionar a separabilidade, tentamos escrever o membro da direita como produto de função só de
por função só de
. Reescrevendo:
Ou ainda
Passo 3
Observação crítica sobre separabilidade: no membro direito há uma soma
. O primeiro termo
é produto de função de
por função de
(ok para separação), mas o segundo termo
mistura
e
multiplicativamente dentro de um mesmo termo e está somado ao primeiro. Para que a expressão inteira seja um produto
(caso clássico de separação), cada soma teria de fatorar em algo como
. Aqui temos soma de dois termos com dependência mista, e não há fator comum que elimine a dependência mista de forma a deixar produto puro
.
Conclusão intermédia: não é possível escrever a RHS como
nem como soma que permita reorganizar em duas funções multiplicativas puras; portanto a equação não é separável no sentido clássico.
Passo 4
Como o enunciado pediu “por separação de variável”, precisamos checar se havia uma substituição óbvia que transformasse a equação em separável. Tentamos algumas substituições usuais (vou listar o raciocínio, porque isso é o que você faria na prova):
- tentar
(porque aparece ); isso leva a termos que viram e não isola ; - tentar
(produto comum em equações com ); isso também deixa um termo com , não separando; - tentar
(porque aparece ); também não resulta em separação simples: surge mistura de e ; - dividir por potências de
(ex.: dividir por ou por ) resulta em expressões como ou semelhantes, que continuam misturando e .
Em todas as tentativas padrões a mistura do termo exponencial que contém
e
em conjunto,
, impede que se obtenha uma expressão do tipo
. Logo, não existe uma substituição simples padrão que torne a equação separável.
Passo 5
Dado que a equação não é separável diretamente nem por substituições usuais, é preciso usar outro método (por exemplo: verificar se é exata ou encontrar um fator integrante). Vou verificar a exatidão (forma diferencial) para decidir o próximo passo.
Escrevemos a equação na forma diferencial:
Aqui
e
. Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 6
Testamos fatores integrantes simples dependentes só de
ou só de
. Regra prática: para fator integrante
depender só de
é necessário que
seja função só de
. Calculando:
que depende de
, portanto não é função só de
. Logo não existe fator integrante dependente apenas de
.
Para fator integrante
depender só de
verificaríamos
ser função só de
. Mas
que depende de
e
. Logo não existe fator integrante dependente apenas de
.
Passo 7
Resumo do diagnóstico (útil para a prova e para o seu estudo):
- A equação, tal como está, não é separável diretamente.
- Não é exata.
- Não admite fator integrante simples que dependa apenas de
ou apenas de .
Isso significa que o método instruído no enunciado, “separação de variáveis”, não pode ser aplicado de forma direta para obter a solução geral desta EDO. Para resolver essa equação seria necessário recorrer a métodos mais avançados (fator integrante dependente de alguma combinação específica, transformações menos óbvias ou técnicas numéricas), e a solução explícita por quadraturas elementares pode não existir em forma fechada simples.
Passo 8
O que eu faria na prova (dica prática e motivadora): explique no seu roteiro de resolução que você tentou separar — mostrando a escrita
— e comente que o termo
impede a separação porque mistura
e
dentro de um mesmo fator exponencial. Em seguida, mostre que a equação não é exata e que não existe fator integrante em
ou só em
. Esse argumento já demonstra que a via pedida (separação de variáveis) não leva à solução, e é a justificativa correta na prova para mudar de método ou afirmar que a equação não é resolvível por separação.
Resposta
A equação não é separável; não existe separação de variáveis que a resolva diretamente. Além disso, a equação não é exata e não admite fator integrante dependente apenas de
ou apenas de
. Portanto não é possível obter a solução por separação de variáveis.