Resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
e^{x} y \frac{d y}{d x}=e^{-x}+e^{-2 x-y}

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva, por separação de variáveis, a equação diferencial
e^{x} y \,\frac{dy}{dx}=e^{-x}+e^{-2x-y}.
O que está pedido: encontrar a solução geral y(x) (ou uma solução implícita) usando o método de separação de variáveis.
Informações dadas: a equação é uma equação de primeira ordem envolvendo x e y; os termos explícitos são e^{x}y, e^{-x} e e^{-2x-y}. Não há condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Primeiro passo prático: testar se a equação é efetivamente separável. Uma equação é separável quando pode ser escrita na forma
g(y)\,\frac{dy}{dx}=h(x)
ou equivalentemente
G(y)\,dy = H(x)\,dx,
ou seja, quando todos os fatores que dependem só de y ficam num lado e os que dependem só de x ficam no outro.
Começamos isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{e^{-x}+e^{-2x-y}}{e^{x}y}.
Para inspecionar a separabilidade, tentamos escrever o membro da direita como produto de função só de x por função só de y. Reescrevendo:
\frac{dy}{dx}=\frac{e^{-x}}{e^{x}y}+\frac{e^{-2x-y}}{e^{x}y} =\frac{e^{-2x}}{y}+\frac{e^{-3x-y}}{y}.
Ou ainda
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{y}\bigl(e^{-2x}+e^{-3x-y}\bigr).

Passo 3

Observação crítica sobre separabilidade: no membro direito há uma soma \dfrac{1}{y}\bigl(e^{-2x}+e^{-3x-y}\bigr). O primeiro termo \dfrac{e^{-2x}}{y} é produto de função de x por função de y (ok para separação), mas o segundo termo \dfrac{e^{-3x-y}}{y}=e^{-3x}\cdot e^{-y}\cdot\frac{1}{y} mistura x e y multiplicativamente dentro de um mesmo termo e está somado ao primeiro. Para que a expressão inteira seja um produto A(x)\cdot B(y) (caso clássico de separação), cada soma teria de fatorar em algo como A(x)B(y). Aqui temos soma de dois termos com dependência mista, e não há fator comum que elimine a dependência mista de forma a deixar produto puro X(x)\cdot Y(y).
Conclusão intermédia: não é possível escrever a RHS como H(x)\cdot G(y) nem como soma que permita reorganizar em duas funções multiplicativas puras; portanto a equação não é separável no sentido clássico.

Passo 4

Como o enunciado pediu “por separação de variável”, precisamos checar se havia uma substituição óbvia que transformasse a equação em separável. Tentamos algumas substituições usuais (vou listar o raciocínio, porque isso é o que você faria na prova):
  • tentar u=y^2 (porque aparece y\,dy/dx); isso leva a termos e^{-2x-y} que viram e^{-y} e não isola y;
  • tentar u=e^{x}y (produto comum em equações com e^{x}y); isso também deixa um termo e^{-2x-y} com e^{-u e^{-x}}, não separando;
  • tentar v=e^{-x-y} (porque aparece e^{-2x-y}); também não resulta em separação simples: surge mistura de x e v;
  • dividir por potências de e^{x} (ex.: dividir por e^{-x} ou por e^{-2x-y}) resulta em expressões como 1+e^{x+y} ou semelhantes, que continuam misturando x e y.
Em todas as tentativas padrões a mistura do termo exponencial que contém x e y em conjunto, e^{-2x-y}, impede que se obtenha uma expressão do tipo A(x)\,B(y). Logo, não existe uma substituição simples padrão que torne a equação separável.

Passo 5

Dado que a equação não é separável diretamente nem por substituições usuais, é preciso usar outro método (por exemplo: verificar se é exata ou encontrar um fator integrante). Vou verificar a exatidão (forma diferencial) para decidir o próximo passo.
Escrevemos a equação na forma diferencial:
(e^{-x}+e^{-2x-y})\,dx - e^{x}y\,dy=0.
Aqui M(x,y)=e^{-x}+e^{-2x-y} e N(x,y)=-e^{x}y. Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=-e^{-2x-y},\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=-e^{x}y.
Como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 6

Testamos fatores integrantes simples dependentes só de x ou só de y. Regra prática: para fator integrante \mu(x) depender só de x é necessário que
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}
seja função só de x. Calculando:
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N} =\frac{-e^{-2x-y}-(-e^{x}y)}{-e^{x}y} = \frac{e^{-2x-y}}{e^{x}y}-1 = \frac{e^{-3x-y}}{y}-1,
que depende de y, portanto não é função só de x. Logo não existe fator integrante dependente apenas de x.
Para fator integrante \mu(y) depender só de y verificaríamos
\frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M}
ser função só de y. Mas
\frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M} =\frac{-e^{x}y+e^{-2x-y}}{e^{-x}+e^{-2x-y}},
que depende de x e y. Logo não existe fator integrante dependente apenas de y.

Passo 7

Resumo do diagnóstico (útil para a prova e para o seu estudo):
  • A equação, tal como está, não é separável diretamente.
  • Não é exata.
  • Não admite fator integrante simples que dependa apenas de x ou apenas de y.
    Isso significa que o método instruído no enunciado, “separação de variáveis”, não pode ser aplicado de forma direta para obter a solução geral desta EDO. Para resolver essa equação seria necessário recorrer a métodos mais avançados (fator integrante dependente de alguma combinação específica ax+by, transformações menos óbvias ou técnicas numéricas), e a solução explícita por quadraturas elementares pode não existir em forma fechada simples.

Passo 8

O que eu faria na prova (dica prática e motivadora): explique no seu roteiro de resolução que você tentou separar — mostrando a escrita \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{y}(e^{-2x}+e^{-3x-y}) — e comente que o termo e^{-3x-y} impede a separação porque mistura x e y dentro de um mesmo fator exponencial. Em seguida, mostre que a equação não é exata e que não existe fator integrante em x ou só em y. Esse argumento já demonstra que a via pedida (separação de variáveis) não leva à solução, e é a justificativa correta na prova para mudar de método ou afirmar que a equação não é resolvível por separação.

Resposta

A equação não é separável; não existe separação de variáveis que a resolva diretamente. Além disso, a equação não é exata e não admite fator integrante dependente apenas de x ou apenas de y. Portanto não é possível obter a solução por separação de variáveis.

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