Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial dada.
\left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d t}+x y=y \\\ y(1)=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial:
\begin{cases} \displaystyle \frac{d y}{d t}+x\,y=y,\\[6pt] y(1)=3. \end{cases}
Notei uma pequena inconsistência: a derivada está escrita em relação a t enquanto o coeficiente é dado em função de x e a condição inicial é y(1)=3 (que naturalmente usa o valor 1 do mesmo independente). Vou assumir que houve um erro de notação no enunciado e que a variável independente é x. Ou seja, a equação que vou resolver é
\frac{d y}{d x}+x\,y=y,
com y(1)=3. Se você pretendia outra coisa, me avise, mas com essa interpretação dá para resolver direitinho.]

Passo 2

Reescrevendo a equação para facilitar a resolução, passo o termo x y para o outro lado:
\frac{d y}{d x}=y - x y.
Fatorando y no lado direito,
\frac{d y}{d x}=y(1-x).
Agora fica claro que a equação é do tipo que permite separação de variáveis (vamos separar y dos x).

Passo 3

Explico o método de separação de variáveis (passo-a-passo, como você pediu): uma equação é separável quando conseguimos escrever ela como produto de uma função somente de y por uma função somente de x. Aqui temos
\frac{d y}{d x}=y(1-x).
Dividindo ambos os lados por y (assumindo provisoriamente y\neq 0; o caso y\equiv0 é verificado à parte), obtemos
\frac{1}{y}\,\frac{d y}{d x}=1-x.
Agora multiplicamos ambos os lados por dx para separar as variáveis:
\frac{1}{y}\,d y=(1-x)\,d x.
Isso significa que a parte com y ficou do lado esquerdo e a parte com x do lado direito — pronto para integrar.

Passo 4

Integro ambos os lados. A integral de \dfrac{1}{y}\,dy é \ln|y|. A integral de 1-x em relação a x é x-\dfrac{x^{2}}{2}. Incluo a constante de integração C do lado direito:
\int \frac{1}{y}\,d y=\int (1-x)\,d x
\Downarrow
\ln|y|=x-\frac{x^{2}}{2}+C.
Explico rapidamente: \displaystyle \int \frac{1}{y}\,dy=\ln|y|+C_1 por definição da primitiva do 1/y; juntei as constantes em uma única C.

Passo 5

Para resolver para y, exponencio ambos os lados:
|y|=e^{\,x-\frac{x^{2}}{2}+C}=e^{C}\,e^{x-\frac{x^{2}}{2}}.
Chamo C_{1}=e^{C}, que é uma constante positiva. Assim
|y|=C_{1}\,e^{x-\frac{x^{2}}{2}}.
Como C_{1}>0 e a solução geral pode absorver o sinal em C_1, escrevo a constante arbitrária sem módulo (permitindo que seja qualquer número real não nulo), isto é
y=C\,e^{x-\frac{x^{2}}{2}},
onde agora C é uma constante real arbitrária. Observação: a solução identicamente zero y\equiv0 também é solução; ela corresponde a C=0.

Passo 6

Agora aplico a condição inicial y(1)=3. Substituo x=1:
y(1)=C\,e^{\,1-\frac{1^{2}}{2}}=C\,e^{1-\frac{1}{2}}=C\,e^{\frac{1}{2}}.
Igualando a 3,
C\,e^{\frac{1}{2}}=3 \quad\Rightarrow\quad C=3\,e^{-\frac{1}{2}}.

Passo 7

Substituo C na expressão geral para obter a solução particular:
y(x)=3\,e^{-\frac{1}{2}}\,e^{x-\frac{x^{2}}{2}}.
Posso juntar os expoentes:
y(x)=3\,e^{\,x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{2}}.
Se quiser, reescreve-se o expoente como x-\dfrac{x^{2}+1}{2}, mas tanto faz — a forma acima está boa e clara.

Passo 8

Verificação rápida (pra te deixar seguro): calculando \dfrac{dy}{dx} da solução e substituindo na equação original dá igualdade; assim confirmamos que a solução encontrada satisfaz a ODE e a condição inicial. (Detalhe: essa verificação é só para checar, você não precisa repetir na prova se já fez os passos anteriores corretamente.)

Resposta

y(x)=3\,e^{\,x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{2}}.

Exercícios relacionados