Resolva a equação diferencial dada em série de potências de x (em torno de x_{0}=0 ). Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo.onde a solução é válida. y^{\prime \prime}+k^{2} x^{2} y=0, em que k \in \mathbb{R}.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por séries de potências em torno de x_{0}=0, a equação
y'' + k^{2}x^{2}y = 0,
onde k\in\mathbb{R}. Vamos assumir uma solução na forma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
determinar a recorrência entre os coeficientes a_{n}, identificar as duas séries independentes (uma par e outra ímpar) e obter uma fórmula fechada para o termo geral de cada série. Por fim, avaliaremos o raio de convergência.
Da recorrência vemos que coeficientes pares dependem de coeficientes pares e ímpares de ímpares. Como a_{2}=0 e a_{3}=0, temos duas séries independentes:
Série par iniciada por a_{0}, cujos termos não nulos são a_{4m}.
Série ímpar iniciada por a_{1}, cujos termos não nulos são a_{4m+1}.
Passo 4
Para a série par, tome n=4(m-1) na recorrência a_{n+2}=-\tfrac{k^{2}}{(n+2)(n+1)}\,a_{n-2}. Isso dá