Resolva a equação diferencial dada em série de potências de x (em torno de x_{0}=0 ). Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo.onde a solução é válida.
y^{\prime \prime}+k^{2} x^{2} y=0, em que k \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por séries de potências em torno de x_{0}=0, a equação
y'' + k^{2}x^{2}y = 0,
onde k\in\mathbb{R}. Vamos assumir uma solução na forma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
determinar a recorrência entre os coeficientes a_{n}, identificar as duas séries independentes (uma par e outra ímpar) e obter uma fórmula fechada para o termo geral de cada série. Por fim, avaliaremos o raio de convergência.

Passo 2

Substituindo
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}, \quad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_{n}x^{n-2},
na equação obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} \;+\; \sum_{n=2}^{\infty}k^{2}a_{n-2}x^{n} =0.
Para igualar potências de x^{n}, notamos que nos índices n=0,1 só aparece o primeiro somatório, o que dá
2\,a_{2}=0,\quad 6\,a_{3}=0 \;\;\Longrightarrow\;\; a_{2}=a_{3}=0.
Para n\ge2 a condição de cancelamento de coeficiente em x^{n} leva à recorrência
(n+2)(n+1)\,a_{n+2} + k^{2}\,a_{n-2} =0 \quad\Longrightarrow\quad a_{n+2} =-\frac{k^{2}}{(n+2)(n+1)}\,a_{n-2}.

Passo 3

Da recorrência vemos que coeficientes pares dependem de coeficientes pares e ímpares de ímpares. Como a_{2}=0 e a_{3}=0, temos duas séries independentes:
  • Série par iniciada por a_{0}, cujos termos não nulos são a_{4m}.
  • Série ímpar iniciada por a_{1}, cujos termos não nulos são a_{4m+1}.

Passo 4

Para a série par, tome n=4(m-1) na recorrência a_{n+2}=-\tfrac{k^{2}}{(n+2)(n+1)}\,a_{n-2}. Isso dá
a_{4m} =-\frac{k^{2}}{(4m)(4m-1)}\,a_{4(m-1)}.
Iterando para m de 1 a m obtemos
a_{4m} =\bigl(-1\bigr)^{m}k^{2m}\, \frac{a_{0}} {\displaystyle\prod_{j=1}^{m}\bigl(4j\,(4j-1)\bigr)}.

Passo 5

Para a série ímpar, tome n=4(m-1)-1 (isto é, n+2=4m+1) na mesma recorrência. Obtemos
a_{4m+1} =-\frac{k^{2}}{(4m+1)(4m)}\,a_{4m-3}
e, iterando,
a_{4m+1} =\bigl(-1\bigr)^{m}k^{2m}\, \frac{a_{1}} {\displaystyle\prod_{j=1}^{m}\bigl((4j+1)\,(4j)\bigr)}.

Passo 6

Portanto, as duas soluções em séries de potências são
y_{1}(x) =\sum_{m=0}^{\infty}a_{4m}\,x^{4m} =a_{0} \sum_{m=0}^{\infty} \bigl(-1\bigr)^{m}k^{2m} \frac{x^{4m}} {\displaystyle\prod_{j=1}^{m}\bigl(4j\,(4j-1)\bigr)},
y_{2}(x) =\sum_{m=0}^{\infty}a_{4m+1}\,x^{4m+1} =a_{1} \sum_{m=0}^{\infty} \bigl(-1\bigr)^{m}k^{2m} \frac{x^{4m+1}} {\displaystyle\prod_{j=1}^{m}\bigl((4j+1)\,(4j)\bigr)}.
A solução geral é
y(x)=C_{1}\,y_{1}(x)+C_{2}\,y_{2}(x).

Passo 7

Para verificar o raio de convergência use o critério da razão: de fato
\frac{\bigl|a_{n+4}\,x^{n+4}\bigr|}{\bigl|a_{n}\,x^{n}\bigr|} \sim\frac{k^{2}}{n^{2}}\,|x|^{4} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;0
para todo x. Logo o raio é infinito e as séries convergem para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

A solução geral é
y(x)=C_{1} \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^{m}k^{2m} \frac{x^{4m}} {\displaystyle\prod_{j=1}^{m}\bigl(4j\,(4j-1)\bigr)} \;+\; C_{2} \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^{m}k^{2m} \frac{x^{4m+1}} {\displaystyle\prod_{j=1}^{m}\bigl((4j+1)\,(4j)\bigr)},
válida em (-\infty,\infty).

Exercícios relacionados