Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=e^{x} \cdot \operatorname{sen} x+4 x^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{x}\cdot\sin x + 4x^{3}.
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas, em particular vamos usar a regra do produto para \,e^{x}\cdot\sin x e a regra de potência para 4x^{3}.

Passo 2

Para \,g(x)=e^{x}\cdot\sin x, definimos u(x)=e^{x} e v(x)=\sin x. A regra do produto diz:
(uv)' = u'\,v + u\,v'.
Como u'(x)=e^{x} e v'(x)=\cos x, obtemos
g'(x)=e^{x}\,\sin x + e^{x}\,\cos x.

Passo 3

Para h(x)=4x^{3}, aplicamos a regra de potência. Como \bigl(x^{3}\bigr)'=3x^{2}, temos
h'(x)=4\cdot 3x^{2}=12x^{2}.

Passo 4

Somando as derivadas de cada parcela, a derivada de f(x) é
f'(x)=g'(x)+h'(x) =e^{x}\,\sin x + e^{x}\,\cos x + 12x^{2}.

Resposta

f'(x)=e^{x}\bigl(\sin x + \cos x\bigr) + 12x^{2}.

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