Resolva a equação diferencial dada em série de potências de x (em torno de x_{0}=0 ). Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo.onde a solução é válida.
\left(2+x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+4 y=0, y(0)=-3, y^{\prime}(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede a solução em série de potências em torno de x_{0}=0 da equação
\bigl(2+x^{2}\bigr)\,y''-x\,y'+4\,y=0,
com condições iniciais y(0)=-3 e y'(0)=2. Vamos usar o método de séries de potências num ponto ordinário e depois determinar o raio de convergência pela distância até o singular mais próximo.

Passo 2

Suponha
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
então
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}x^{n-1}, \quad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_{n}x^{n-2}.
Substituindo em (2+x^2)y''-xy'+4y=0 e recolhendo potências de x^n dá, após reindexação,
2\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} +\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)a_{n}x^{n} -\sum_{n=0}^{\infty}n\,a_{n}x^{n} +4\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=0.

Passo 3

Igualando coeficientes de x^n obtemos a recorrência
2(n+2)(n+1)\,a_{n+2}+\bigl(n(n-1)-n+4\bigr)a_{n}=0,
ou seja
a_{n+2} =-\frac{n^{2}-2n+4}{2\,(n+2)(n+1)}\,a_{n}, \quad n\ge0.

Passo 4

Das condições iniciais temos
a_{0}=y(0)=-3, \qquad a_{1}=y'(0)=2.
Como a recorrência liga a_{n+2} a a_{n}, surgem duas sub-séries: uma de termos pares e outra de termos ímpares.

Passo 5

Para k\ge1 obtemos, tomando n=2k-2,
a_{2k} =-\frac{(2k-2)^{2}-2(2k-2)+4}{2\,(2k)(2k-1)}\,a_{2k-2} =-\frac{k^{2}-3k+3}{k(2k-1)}\,a_{2k-2},
logo por indução
a_{2k} =(-1)^{k}\,\Biggl[\prod_{j=1}^{k}\frac{j^{2}-3j+3}{j(2j-1)}\Biggr]\,a_{0}.
Analogamente, para k\ge1 e n=2k-1,
a_{2k+1} =-\frac{(2k-1)^{2}-2(2k-1)+4}{2\,(2k+1)(2k)}\,a_{2k-1} =(-1)^{k}\,\Biggl[\prod_{j=1}^{k}\frac{4j^{2}-8j+7}{2j(2j+1)}\Biggr]\,a_{1}.
Portanto a solução geral em série é
y(x) =\sum_{k=0}^{\infty}a_{2k}\,x^{2k} +\sum_{k=0}^{\infty}a_{2k+1}\,x^{2k+1}
com a_{0}=-3 e a_{1}=2 e a_{2k},a_{2k+1} dados acima.

Passo 6

O coeficiente principal da EDO é 2+x^{2}, que zera em x=\pm i\sqrt{2}. O raio de convergência da série é a distância até o singular mais próximo, ou seja
R=\sqrt{2}.
Logo a solução é válida para |x|<\sqrt{2}.

Resposta

y(x) =\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\Biggl[\prod_{j=1}^{k}\frac{j^{2}-3j+3}{j(2j-1)}\Biggr](-3)\,x^{2k} +\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\Biggl[\prod_{j=1}^{k}\frac{4j^{2}-8j+7}{2j(2j+1)}\Biggr](2)\,x^{2k+1},
válida para |x|<\sqrt{2}.

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