Resolva a equação diferencial dada em série de potências de
(em torno de
). Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo.onde a solução é válida.
.
Passo 1
O enunciado pede a solução em série de potências em torno de
da equação
com condições iniciais
e
. Vamos usar o método de séries de potências num ponto ordinário e depois determinar o raio de convergência pela distância até o singular mais próximo.
Passo 2
Suponha
então
Substituindo em
e recolhendo potências de
dá, após reindexação,
Passo 3
Igualando coeficientes de
obtemos a recorrência
ou seja
Passo 4
Das condições iniciais temos
Como a recorrência liga
a
, surgem duas sub-séries: uma de termos pares e outra de termos ímpares.
Passo 5
Para
obtemos, tomando
,
logo por indução
Analogamente, para
e
,
Portanto a solução geral em série é
com
e
e
dados acima.
Passo 6
O coeficiente principal da EDO é
, que zera em
. O raio de convergência da série é a distância até o singular mais próximo, ou seja
Logo a solução é válida para
.
Resposta
válida para
.