Resolva a equação diferencial dada em série de potências de x (em torno de x_{0}=0 ). Escreva uma fórmula fechada para o termò geral de cada série que compŏe a solugão. Dê um intervalo onde a solųc̃o s válida y^{\prime \prime}-x y=0, use Equação de Airy.
Passo 1
O enunciado pede a solução por série de potências em torno de x_{0}=0 da equação diferencial
y'' - x y = 0,
pedindo também uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução e um intervalo onde a solução é válida. Dados importantes que temos:
\text{equação: } y''-x y=0,\quad\text{centro da série: } x_{0}=0.
Queremos encontrar duas soluções lineares independentes (duas constantes arbitrárias) em série de potências e determinar o raio/domínio de convergência.
Passo 2
Vamos assumir uma solução em série de potências em torno de 0:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n},
onde os coeficientes a_{n} são números a determinar. Explico cada símbolo: a_n é o coeficiente do termo x^n na série; a ideia é substituir a série e suas derivadas na equação e igualar coeficientes de potências de x.
Calcule as derivadas em série:
y'(x)=\sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1},\qquad y''(x)=\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}.
(Para y'' reindexei para obter potência x^n com coeficiente envolvendo a_{n+2}.)
Essa é a relação de recorrência que determina todos os a_n a partir de a_0 e a_1.
Passo 4
Observe a estrutura da recorrência: ela relaciona a_{n+2} com a_{n-1}, ou seja, dá saltos de comprimento 3 nos índices. Isso implica que os coeficientes se separam em três progressões aritméticas de índices:
Já vimos a_2=0. Usando a recorrência, tem-se a_5 depende de a_2 e portanto a_5=0, e por indução todos os a_{3k+2}=0. Logo sobram apenas as duas famílias independentes geradas por a_0 e por a_1. Assim a solução geral tem a forma
y(x)=a_0\;y^{(0)}(x)+a_1\;y^{(1)}(x),
onde y^{(0)} é a série com potências x^{3k} e y^{(1)} a série com potências x^{3k+1}.
Passo 5
Vamos escrever explicitamente a recorrência entre termos das mesmas classes mod 3.
Para os termos a_{3k} (com k\ge1) escolha n=3k-2 na recorrência:
a_{3k}=\frac{a_{3k-3}}{(3k)(3k-1)}.
Iterando essa relação partindo de a_0 obtemos a forma em produto
Podemos apresentar essas fórmulas fechadas também usando a função Gama para ficar mais compactas (aplicando a identidade \prod_{m=0}^{k-1}(a m+b)=a^{k}\dfrac{\Gamma(k+b/a)}{\Gamma(b/a)}). Isso dá, para k\ge0:
Para checar que essas séries convergem para todo x\in\mathbb{R} (ou \mathbb{C}), use o teste da razão entre termos consecutivos das séries em k. Por exemplo, para a primeira série o termo geral em k é
Como o limite é 0 para todo x, a série converge para todo x. Idêntico argumento vale para a segunda série. Portanto o raio de convergência é infinito e as séries definem funções inteiras.
Passo 9
Comentário final (útil na prova): as duas séries acima são, à constante multiplicativa, as duas soluções independentes da equação de Airy. Em literatura essas soluções são normalmente combinadas para formar as funções de Airy \operatorname{Ai}(x) e \operatorname{Bi}(x), mas aqui temos a forma em série centrada em 0 e o termo geral explícito.
válida para todo x\in(-\infty,\infty) (na verdade para todo x\in\mathbb{R} e para todo x\in\mathbb{C}, pois as séries têm raio de convergência infinito).