Uma massa de 1 slug é suspensa por uma mola cuja constante é 9 \mathrm{lb} / pé. Inicialmente, a massa é solta de um ponto 1 pé acima da posição de equilíbrio a uma velocidade para cima de \sqrt{3} pés/s. Ache os instantes nos quais a massa se dirige para baixo a uma velocidade de 3 pés/s.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem específica.
  • Dados:
    • Massa: \,1 slug.
    • Constante da mola: \,9\\ \mathrm{lb/ft}.
    • Posição de equilíbrio: vamos tomar como \,x=0.
    • Inicialmente a massa é solta de um ponto 1 pé acima da posição de equilíbrio com velocidade para cima de \sqrt{3}\\ \mathrm{ft/s}.
      • Portanto a posição inicial é \,x(0)=1 (escolhi sinal positivo para cima).
      • A velocidade inicial é \,x'(0)=\sqrt{3} (para cima, positiva).
  • Pedido:
    • Ache os instantes t em que a massa “se dirige para baixo a uma velocidade de 3\\ \mathrm{ft/s}”.
      • Isso significa procurar t tais que a velocidade seja -3 (negativa, porque para baixo).

Passo 2

Montar a equação do movimento e a solução geral — aula rápida e prática.
  • Para uma mola ideal, pela 2ª lei de Newton e Lei de Hooke: m\,x''(t) = -k\,x(t).Aqui:
    • \,m é a massa (em slugs),
    • \,k é a constante da mola ( \mathrm{lb/ft}),
    • \,x(t) é a posição (positiva para cima),
    • \,x''(t) é a aceleração.
  • Dividindo por m obtemos a equação padrão do oscilador harmônico: x''(t) + \frac{k}{m}\,x(t)=0.
  • Definimos a frequência angular \omega por \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.Substituindo os valores dados: \omega=\sqrt{\frac{9}{1}}=3\\ \text{rad/s}.
  • A solução geral da equação homogênea é x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.
    Explicação curta: a soma de cosseno e seno cobre todas as soluções da equação linear de 2ª ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Aplicar as condições iniciais para achar A e B.
  • Usamos \,x(0)=A\cos0 + B\sin0 = A. Como \,x(0)=1, temos A=1.
  • A velocidade é x'(t) = -A\omega\sin(\omega t) + B\omega\cos(\omega t).Em t=0: x'(0) = B\omega.Como x'(0)=\sqrt{3} e \omega=3, obtemos B=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
  • Portanto a solução particular é x(t)=\cos(3t)+\frac{\sqrt{3}}{3}\sin(3t).

Passo 4

Obter a expressão da velocidade e escrever a equação que devemos resolver.
  • A velocidade é v(t)=x'(t)=-3\sin(3t)+3\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}\cos(3t)=-3\sin(3t)+\sqrt{3}\cos(3t).Lembrete didático: derive termo a termo; o fator \omega=3 multiplica tanto o seno quanto o cosseno na derivada.
  • Queremos os instantes em que a velocidade vale -3: -3\sin(3t)+\sqrt{3}\cos(3t) = -3.

Passo 5

Resolver a equação trigonométrica. Vou transformar a combinação linear em uma única função cosseno com amplitude e fase — método padrão e prático.
  • Escrevemos
    v(t)=\sqrt{3}\cos(3t)-3\sin(3t).
  • Calcule a amplitude R:
    R=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{3+9}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.
    Então existe um ângulo \varphi tal que
    v(t)=R\cos(3t+\varphi).
    As relações entre coeficientes são
    R\cos\varphi=\sqrt{3},\qquad R\sin\varphi=-3.
    Dividindo,
    \tan\varphi=\frac{-3}{\sqrt{3}}=-\sqrt{3}.
    Um ângulo com \cos\varphi=1/2 e \sin\varphi=-\sqrt{3}/2 é \varphi=-\pi/3. Confirmamos:
    R\cos\varphi=2\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}=\sqrt{3},\qquad R\sin\varphi=2\sqrt{3}\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-3.
    Logo
    v(t)=2\sqrt{3}\cos\!\bigl(3t-\tfrac{\pi}{3}\bigr).
  • Agora impomos v(t)=-3:
    2\sqrt{3}\cos\!\bigl(3t-\tfrac{\pi}{3}\bigr)=-3.
    Dividindo,
    \cos\!\bigl(3t-\tfrac{\pi}{3}\bigr)=-\frac{3}{2\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
  • Resolvendo a equação \cos\theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}:
    soluções gerais para \theta são
    \theta = \frac{5\pi}{6}+2\pi n\quad\text{ou}\quad \theta=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.
    Substituindo \theta=3t-\tfrac{\pi}{3} temos dois ramos:
    1. 3t-\tfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n. Somando \tfrac{\pi}{3} aos dois lados:
      3t=\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{3}+2\pi n=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,
      então
      t=\frac{7\pi}{18}+\frac{2\pi}{3}n,\qquad n\in\mathbb{Z}.
    2. 3t-\tfrac{\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi n. Somando \tfrac{\pi}{3}:
      3t=\frac{7\pi}{6}+\frac{\pi}{3}+2\pi n=\frac{9\pi}{6}+2\pi n=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,
      então
      t=\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi}{3}n,\qquad n\in\mathbb{Z}.
  • Conclusão: as duas famílias acima dão todos os instantes (para t\ge 0 escolha n apropriado).

Resposta

\displaystyle t=\frac{7\pi}{18}+\frac{2\pi}{3}n,\quad n\in\mathbb{Z}
\displaystyle t=\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi}{3}n,\quad n\in\mathbb{Z}

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