Uma massa de 1 slug é suspensa por uma mola cuja constante é
pé. Inicialmente, a massa é solta de um ponto 1 pé acima da posição de equilíbrio a uma velocidade para cima de
pés/s. Ache os instantes nos quais a massa se dirige para baixo a uma velocidade de 3 pés/s.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem específica.
- Dados:
- Massa:
slug. - Constante da mola:
. - Posição de equilíbrio: vamos tomar como
. - Inicialmente a massa é solta de um ponto
pé acima da posição de equilíbrio com velocidade para cima de . - Portanto a posição inicial é
(escolhi sinal positivo para cima). - A velocidade inicial é
(para cima, positiva).
- Portanto a posição inicial é
- Massa:
- Pedido:
- Ache os instantes
em que a massa “se dirige para baixo a uma velocidade de ”. - Isso significa procurar
tais que a velocidade seja (negativa, porque para baixo).
- Isso significa procurar
- Ache os instantes
Passo 2
Montar a equação do movimento e a solução geral — aula rápida e prática.
- Para uma mola ideal, pela 2ª lei de Newton e Lei de Hooke:
Aqui: -
é a massa (em slugs), -
é a constante da mola ( ), -
é a posição (positiva para cima), -
é a aceleração.
-
- Dividindo por
obtemos a equação padrão do oscilador harmônico: - Definimos a frequência angular
por Substituindo os valores dados: - A solução geral da equação homogênea é
onde e são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Explicação curta: a soma de cosseno e seno cobre todas as soluções da equação linear de 2ª ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Aplicar as condições iniciais para achar
e
.
- Usamos
. Como , temos - A velocidade é
Em : Como e , obtemos - Portanto a solução particular é
Passo 4
Obter a expressão da velocidade e escrever a equação que devemos resolver.
- A velocidade é
Lembrete didático: derive termo a termo; o fator multiplica tanto o seno quanto o cosseno na derivada. - Queremos os instantes em que a velocidade vale
:
Passo 5
Resolver a equação trigonométrica. Vou transformar a combinação linear em uma única função cosseno com amplitude e fase — método padrão e prático.
-
Escrevemos
-
Calcule a amplitude
: Então existe um ângulotal que As relações entre coeficientes sãoDividindo,Um ângulo come é . Confirmamos: Logo -
Agora impomos
: Dividindo, -
Resolvendo a equação
:
soluções gerais parasão Substituindotemos dois ramos: -
. Somando aos dois lados: então -
. Somando : então
-
-
Conclusão: as duas famílias acima dão todos os instantes (para
escolha apropriado).