Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
y d y=4 x(y^2+1)^12 d x ; y(0)=1

Passo 1

A equação diferencial
y,dy = 4xraizy^2+1,dx
é uma equação de variáveis separáveis. Ou seja, podemos rearranjar para ter apenas termos em y de um lado e apenas termos em x do outro, e depois integrar.

Passo 2

Separe as variáveis dividindo ambos os lados por raizy^2+1:
yraizy^2+1,dy = 4x,dx

Passo 3

Integre os dois lados:
integral yraizy^2+1,dy = integral 4x,dx
No lado esquerdo, faça u = y^2+1, logo du = 2y,dy, daí
integral yraizy^2+1,dy = 12 integral u^-tfrac12du = raizu = raizy^2+1
No lado direito,
integral 4x,dx = 2x^2 + C
Logo a integração dá
raizy^2+1 = 2x^2 + C

Passo 4

Aplique a condição inicial y(0)=1. Em x=0, o lado esquerdo vale raiz1^2+1=raiz2, então
raiz2 = 2cdot0^2 + C Longrightarrow C = raiz2
Assim
raizy^2+1 = 2x^2 + raiz2

Passo 5

Isole y. Elevando ao quadrado:
y^2 + 1 = l(2x^2 + raiz2r)^2 Longrightarrow y^2 = l(2x^2 + raiz2r)^2 - 1
Como a solução deve satisfazer y(0)=1>0, escolhemos o sinal positivo na raiz:
y(x) = raizl(2x^2 + raiz2r)^2 - 1

Resposta

y(x) = raizl(2x^2 + raiz2r)^2 - 1

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