Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada. Especifique um intervalo onde a solução do PVI exista.
\frac{d y}{d x}+5 y=20 \quad y(0)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de 1ª ordem
\frac{dy}{dx}+5y=20
com condição inicial y(0)=2.
O conteúdo aqui é o método do fator integrante para resolver equações da forma \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x).

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}=e^{\int 5\,dx}=e^{5x}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x) para obter
e^{5x}\frac{dy}{dx}+5e^{5x}y=20e^{5x},
o que reconhecemos como
\frac{d}{dx}\bigl(e^{5x}y\bigr)=20e^{5x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em x:
e^{5x}y=\int 20e^{5x}\,dx=20\cdot\frac{1}{5}e^{5x}+C=4e^{5x}+C.

Passo 5

Isolamos y:
y=4+Ce^{-5x}.

Passo 6

Aplicamos a condição y(0)=2:
2=4+Ce^{0}\quad\Longrightarrow\quad C=2-4=-2.
Logo a solução particular é
y(x)=4-2e^{-5x}.

Passo 7

Como os coeficientes P(x)=5 e Q(x)=20 são contínuos em todo \mathbb{R}, o Teorema de existência e unicidade garante que a solução existe e é única para qualquer x\in\mathbb{R}.

Resposta

A solução do PVI é
y(x)=4-2e^{-5x},
válida para todo x\in\mathbb{R}.

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