A área da região delimitada pelas curvas y=x^{2}, x=0, x=1 e y=2 é:
a) 1 .
b) 125 / 6.
c) 3 / 2.
d) 5 / 3.

Passo 1

O enunciado pede a área da região do plano limitada pelas curvas y = x^2, x = 0, x = 1 e y = 2. O conteúdo aqui é cálculo de área entre duas curvas usando integração, em que a área é dada por
\int_{a}^{b} \bigl(\text{curva superior} - \text{curva inferior}\bigr)\,dx.

Passo 2

Precisamos identificar, para cada x entre 0 e 1, qual é a curva superior e qual é a inferior:
A curva superior é y = 2 e a inferior é y = x^2. Os limites em x vêm das retas verticais dadas: de x=0 até x=1.

Passo 3

Montamos a integral da diferença das funções de x=0 até x=1:
\int_{0}^{1} \bigl(2 - x^2\bigr)\,dx

Passo 4

Calculamos a integral: primeiro achamos a antiderivada de 2 - x^2, que é 2x - \tfrac{x^3}{3}. Avaliando de 0 a 1
\Bigl[2x - \tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{1} = \bigl(2\cdot1 - \tfrac{1^3}{3}\bigr) - \bigl(0 - 0\bigr) = 2 - \tfrac{1}{3} = \tfrac{6}{3} - \tfrac{1}{3} = \tfrac{5}{3}.

Resposta

d) \displaystyle \frac{5}{3}

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