O valor da integral \int_{0}^{\pi / 2} \operatorname{sen}^{3}(x) \cos (x) d x é:
a) 1 / 4.
b) 3 / 2.
c) 1 / 3.
d) 11 / 4.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida de \sin^3(x)\cos(x) de 0 a \pi/2. O conteúdo aqui é substituição simples, usando que a derivada de \sin(x) é \cos(x).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sin(x),
portanto
du = \cos(x)\,dx.
Quando x=0, temos u=\sin(0)=0; quando x=\pi/2, temos u=\sin(\pi/2)=1. Assim a integral original vira
\int_{0}^{\pi/2} \sin^3(x)\cos(x)\,dx = \int_{0}^{1} u^3\,du.

Passo 3

Calculamos a integral em u:
\int_{0}^{1} u^3\,du = \left[\frac{u^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}.

Passo 4

Concluímos que o valor da integral é \tfrac{1}{4}, correspondendo à alternativa (a).

Resposta

(a)

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