Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada. Especifique um intervalo onde a solução do PVI exista.
x(x-2) \frac{d y}{d x}+2 y=0 \quad y(3)=6

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x(x-2)\,\frac{dy}{dx} + 2y = 0,
com condição inicial y(3)=6.
Isso é uma equação linear de primeira ordem; vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo por x(x-2):
\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x(x-2)}\,y = 0.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int \frac{2}{x(x-2)}\,dx\Bigr).
Fazendo frações parciais:
\frac{2}{x(x-2)} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x-2},
logo
\int\frac{2}{x(x-2)}\,dx = -\ln|x| + \ln|x-2| = \ln\Bigl|\frac{x-2}{x}\Bigr|.
Assim
\mu(x) = \frac{|x-2|}{|x|}.
No intervalo em que x>2 temos \mu(x)=\frac{x-2}{x}.

Passo 4

Multiplicamos a equação por \mu(x) e reconhecemos a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\Bigl(y\,\frac{x-2}{x}\Bigr) = 0.
Integrando,
y\,\frac{x-2}{x} = C.

Passo 5

Isolando y:
y = C\,\frac{x}{x-2}.
Aplicando a condição y(3)=6:
6 = C\,\frac{3}{3-2} = 3C \quad\Longrightarrow\quad C = 2.
Então
y = \frac{2x}{x-2}.

Passo 6

A solução exige x\neq0 e x\neq2; como a condição inicial está em x=3, escolhemos o intervalo (2,\infty), onde tudo é contínuo.

Resposta

A solução do PVI é
y(x) = \frac{2x}{x-2},
válida para x\in(2,\infty).

Exercícios relacionados