Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
\left(2 y \sin x \cos x-y+2 y^{2} e^{x}\right) y^{\prime} d x=\left(x-\sin ^{2} x-4 x y e^{x}\right) d y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(2\,y\sin x\cos x - y + 2\,y^{2}e^{x}\bigr)\,dx \;+\;\bigl(x - \sin^{2}x -4\,x\,y\,e^{x}\bigr)\,dy \;=\;0
e pede para verificarmos se ela é exata. Lembrando que uma equação na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata se e somente se
\frac{\partial M}{\partial y}(x,y) \;=\;\frac{\partial N}{\partial x}(x,y).

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2\,y\sin x\cos x \;-\; y \;+\;2\,y^{2}e^{x},
N(x,y) = x \;-\;\sin^{2}x \;-\;4\,x\,y\,e^{x}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 2\sin x\cos x \;-\;1 \;+\;4\,y\,e^{x},
\frac{\partial N}{\partial x} = 1 \;-\;2\sin x\cos x \;-\;4\,y\,e^{x}\;-\;4\,x\,y\,e^{x}.

Passo 4

Comparando, vemos que
\frac{\partial M}{\partial y} =2\sin x\cos x -1 +4y e^{x}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} =1 -2\sin x\cos x -4y e^{x}-4x y e^{x},
e claramente
\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}.
Portanto a equação não é exata, e não podemos resolvê-la por este método.

Resposta

A equação não é exata.

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