Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
e
. Vamos resolver encontrando a equação característica, obter as raízes, montar a solução geral e, por fim, ajustar as constantes com as condições iniciais.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada, trocando
por
:
Passo 3
Resolvendo
usamos a fórmula de Bhaskara:
Logo as raízes são
Passo 4
Como as raízes são distintas, a solução geral da equação diferencial é
Passo 5
Calculamos a derivada para aplicar a segunda condição inicial:
Passo 6
Impondo
em
e
, obtemos o sistema
Passo 7
Para resolver, multiplicamos a primeira equação por
:
Subtraindo dessa a segunda equação:
Agora somamos com
:
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral, temos