Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada:
4 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-3 y=0, y(0)=1, y^{\prime}(0)=5

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
4y''-4y'-3y=0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=5. Vamos resolver encontrando a equação característica, obter as raízes, montar a solução geral e, por fim, ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada, trocando y por e^{rt}:
4r^2 - 4r - 3 = 0.

Passo 3

Resolvendo
4r^2 - 4r - 3 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot4\cdot(-3)}}{2\cdot4} =\frac{4 \pm \sqrt{16+48}}{8} =\frac{4 \pm 8}{8}.
Logo as raízes são
r_1 = \frac{12}{8} = \tfrac{3}{2}, \quad r_2 = \frac{-4}{8} = -\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Como as raízes são distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(t) = C_1 e^{\tfrac{3}{2}t} + C_2 e^{-\tfrac{1}{2}t}.

Passo 5

Calculamos a derivada para aplicar a segunda condição inicial:
y'(t) = \frac{3}{2}C_1 e^{\tfrac{3}{2}t} - \frac{1}{2}C_2 e^{-\tfrac{1}{2}t}.

Passo 6

Impondo t=0 em y(t) e y'(t), obtemos o sistema
\begin{cases} y(0)=C_1 + C_2 = 1,\\\ y'(0)=\tfrac{3}{2}C_1 - \tfrac{1}{2}C_2 = 5. \end{cases}

Passo 7

Para resolver, multiplicamos a primeira equação por \tfrac12:
\tfrac12 C_1 + \tfrac12 C_2 = \tfrac12.
Subtraindo dessa a segunda equação:
\bigl(\tfrac{3}{2}C_1 - \tfrac12 C_2\bigr) -\bigl(\tfrac12 C_1 + \tfrac12 C_2\bigr) =5 - \tfrac12 \;\Longrightarrow\; C_1 - C_2 = \tfrac{9}{2}.
Agora somamos com C_1 + C_2 =1:
2C_1 = 1 + \tfrac{9}{2} = \tfrac{11}{2} \;\Longrightarrow\; C_1 = \tfrac{11}{4}, \quad C_2 = 1 - \tfrac{11}{4} = -\tfrac{7}{4}.

Passo 8

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, temos
y(t) = \tfrac{11}{4}\,e^{\tfrac{3}{2}t} - \tfrac{7}{4}\,e^{-\tfrac{1}{2}t}.

Resposta

y(t) = \frac{11}{4}\,e^{\tfrac{3}{2}t} \;-\;\frac{7}{4}\,e^{-\tfrac{1}{2}t}.

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