Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com a condição inicial
.
O que o problema pede é encontrar a solução (pelo menos implicitamente) que satisfaça essa equação e a condição inicial. As informações relevantes são:
O que o problema pede é encontrar a solução
e a condição
.
Passo 2
Vamos escolher um método. Como
depende só de
e
depende só de
, a equação tem formato simples e pode ser tratada como uma forma exata ou, equivalentemente, integramos cada lado separadamente. Vou usar o método das formas exatas porque é direto aqui: se existe uma função potencial
tal que
então a equação é
e a solução geral é
.
Para checar a exatidão de forma simples: calcule
e
.
Como são iguais (ambas zero), a forma é exata e existe
tal que
.
Passo 3
Para encontrar
integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Agora calculamos
por partes. A fórmula de integração por partes é
Escolhemos
(logo
) e
(logo
). Assim
Portanto, sem o
global,
Passo 4
Agora usamos a condição
. Como
não depende de
, temos
Integramos em
para obter
:
(Já incorporamos a constante
que será a constante geral da solução implícita.)
Passo 5
Juntando tudo, uma função potencial
é
A equação diferencial
dá a solução implícita geral
onde
é constante arbitrária.
Passo 6
Agora aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituímos
e
:
Como
e
, obtemos
Passo 7
Portanto a solução (implícita) que satisfaz a condição inicial é
Observação didática rápida: se você quiser justificar existência e unicidade local de uma solução explícita
próximo a
, use o Teorema das Funções Implícitas: como
e em
vale
, existe uma função
diferenciável perto de
que satisfaz a relação implícita acima e é única localmente.