Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
x cos x d x+\left(1-6 y^{5}\right) d y=0, y(\pi)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\cos x\,dx+\left(1-6y^{5}\right)\,dy=0
com a condição inicial y(\pi)=0.
O que o problema pede é encontrar a solução y(x) (pelo menos implicitamente) que satisfaça essa equação e a condição inicial. As informações relevantes são:
M(x,y)=x\cos x\quad\text{(coeficiente de }dx\text{)}
N(x,y)=1-6y^{5}\quad\text{(coeficiente de }dy\text{)}
e a condição y(\pi)=0.

Passo 2

Vamos escolher um método. Como M depende só de x e N depende só de y, a equação tem formato simples e pode ser tratada como uma forma exata ou, equivalentemente, integramos cada lado separadamente. Vou usar o método das formas exatas porque é direto aqui: se existe uma função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y),
então a equação é dF=0 e a solução geral é F(x,y)=C.
Para checar a exatidão de forma simples: calcule \partial M/\partial y e \partial N/\partial x.
\frac{\partial M}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=0.
Como são iguais (ambas zero), a forma é exata e existe F tal que dF=M\,dx+N\,dy.

Passo 3

Para encontrar F(x,y) integramos M em relação a x, tratando y como constante:
F(x,y)=\int x\cos x\,dx + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.
Agora calculamos \int x\cos x\,dx por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolhemos u=x (logo du=dx) e dv=\cos x\,dx (logo v=\sin x). Assim
\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C.
Portanto, sem o C global,
F(x,y)=x\sin x+\cos x + h(y).

Passo 4

Agora usamos a condição \partial F/\partial y = N(x,y)=1-6y^{5}. Como x\sin x+\cos x não depende de y, temos
\frac{\partial F}{\partial y}=h'(y)=1-6y^{5}.
Integramos em y para obter h(y):
h(y)=\int (1-6y^{5})\,dy = y - y^{6} + C_1.
(Já incorporamos a constante C_1 que será a constante geral da solução implícita.)

Passo 5

Juntando tudo, uma função potencial F é
F(x,y)=x\sin x+\cos x + y - y^{6}.
A equação diferencial dF=0 dá a solução implícita geral
x\sin x+\cos x + y - y^{6} = C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 6

Agora aplicamos a condição inicial y(\pi)=0 para determinar C. Substituímos x=\pi e y=0:
\pi\sin\pi + \cos\pi + 0 - 0 = C.
Como \sin\pi=0 e \cos\pi=-1, obtemos
C=-1.

Passo 7

Portanto a solução (implícita) que satisfaz a condição inicial é
x\sin x+\cos x + y - y^{6} = -1.
Observação didática rápida: se você quiser justificar existência e unicidade local de uma solução explícita y(x) próximo a x=\pi, use o Teorema das Funções Implícitas: como \partial F/\partial y = 1-6y^{5} e em (\pi,0) vale 1-6\cdot0^{5}=1\neq 0, existe uma função y(x) diferenciável perto de x=\pi que satisfaz a relação implícita acima e é única localmente.

Resposta

x\sin x+\cos x + y - y^{6} = -1

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