Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
sen
Passo 1
O enunciado pede que eu resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial
. As informações fornecidas são:
Portanto tenho uma equação envolvendo
e
e quero encontrar a função
que satisfaça essa igualdade e a condição inicial.
Passo 2
Primeiro vou simplificar a parte trigonométrica no lado direito. Lembro que a identidade trigonométrica é
Substituindo na equação original obtenho
Posso dividir ambos os lados por
desde que
. Isso é permitido numa vizinhança de
porque
, logo a operação é válida para construir a solução que passa por
. Após cancelar
obtemos
Passo 3
Agora separo as variáveis
e
. Coloco os termos que dependem de
multiplicando
e os termos que dependem de
multiplicando
:
Explico a simplificação no numerador:
. Então a equação separada fica
Passo 4
Integro ambos os lados. Do lado esquerdo preciso calcular
A primeira integral é direta:
A segunda eu faço por partes. Para
tomo
e
. Então
e
. Aplicando a fórmula de integração por partes
vem
Portanto
Somando as duas contribuições do lado esquerdo obtenho
Do lado direito
Assim a relação integrada é
Passo 5
Uso a condição inicial
para determinar a constante
. Substituindo
e
na igualdade integrada:
Calculando:
e
, então
Passo 6
Substituindo
na solução implícita, obtenho a solução determinada pela condição inicial:
Observações finais (úteis para a prova): essa é uma solução implícita — não é possível isolar
em termos de funções elementares simples. A dedução foi feita assumindo
; como a condição inicial está em
(onde
), a solução é válida em uma vizinhança de
até o primeiro ponto onde
ou onde
pudesse causar problema na forma original. A solução é a única que satisfaz a condição inicial, pois os termos da equação são contínuos e a separação levou a uma constante bem determinada.