Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
\left(e^{2 y}-y\right) cos x \frac{d y}{d x}=e^{y} sen 2 x, y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial y(0)=0. As informações fornecidas são:
\left(e^{2y}-y\right)\cos x\;\frac{dy}{dx}=e^{y}\sin 2x,\qquad y(0)=0.
Portanto tenho uma equação envolvendo x e y e quero encontrar a função y(x) que satisfaça essa igualdade e a condição inicial.

Passo 2

Primeiro vou simplificar a parte trigonométrica no lado direito. Lembro que a identidade trigonométrica é
\sin 2x = 2\sin x\cos x.
Substituindo na equação original obtenho
\left(e^{2y}-y\right)\cos x\;\frac{dy}{dx}=e^{y}\cdot 2\sin x\cos x.
Posso dividir ambos os lados por \cos x desde que \cos x\neq 0. Isso é permitido numa vizinhança de x=0 porque \cos 0=1\neq0, logo a operação é válida para construir a solução que passa por x=0. Após cancelar \cos x obtemos
\left(e^{2y}-y\right)\frac{dy}{dx}=2e^{y}\sin x.

Passo 3

Agora separo as variáveis x e y. Coloco os termos que dependem de y multiplicando dy e os termos que dependem de x multiplicando dx:
\frac{e^{2y}-y}{e^{y}}\,dy = 2\sin x\,dx.
Explico a simplificação no numerador: \dfrac{e^{2y}-y}{e^{y}} = e^{y}-y e^{-y}. Então a equação separada fica
\bigl(e^{y}-y e^{-y}\bigr)\,dy = 2\sin x\,dx.

Passo 4

Integro ambos os lados. Do lado esquerdo preciso calcular
\int\bigl(e^{y}-y e^{-y}\bigr)\,dy=\int e^{y}\,dy - \int y e^{-y}\,dy.
A primeira integral é direta:
\int e^{y}\,dy = e^{y}.
A segunda eu faço por partes. Para \int y e^{-y}\,dy tomo u=y e dv=e^{-y}dy. Então du=dy e v=-e^{-y}. Aplicando a fórmula de integração por partes \int u\,dv = uv-\int v\,du vem
\int y e^{-y}\,dy = -y e^{-y} - \int(-e^{-y})\,dy = -y e^{-y} - e^{-y} + C = -e^{-y}(y+1)+C.
Portanto
- \int y e^{-y}\,dy = -\bigl(-e^{-y}(y+1)\bigr) = e^{-y}(y+1).
Somando as duas contribuições do lado esquerdo obtenho
\int\bigl(e^{y}-y e^{-y}\bigr)\,dy = e^{y} + e^{-y}(y+1).
Do lado direito
\int 2\sin x\,dx = -2\cos x + C.
Assim a relação integrada é
e^{y} + e^{-y}(y+1) = -2\cos x + C.

Passo 5

Uso a condição inicial y(0)=0 para determinar a constante C. Substituindo x=0 e y=0 na igualdade integrada:
e^{0} + e^{0}(0+1) = -2\cos 0 + C.
Calculando: e^{0}=1 e \cos 0=1, então
1 + 1 = -2\cdot 1 + C \quad\Rightarrow\quad 2 = -2 + C \quad\Rightarrow\quad C=4.

Passo 6

Substituindo C=4 na solução implícita, obtenho a solução determinada pela condição inicial:
e^{y} + e^{-y}(y+1) = 4 - 2\cos x.
Observações finais (úteis para a prova): essa é uma solução implícita — não é possível isolar y em termos de funções elementares simples. A dedução foi feita assumindo \cos x\neq0; como a condição inicial está em x=0 (onde \cos 0=1), a solução é válida em uma vizinhança de x=0 até o primeiro ponto onde \cos x=0 ou onde e^{2y}-y=0 pudesse causar problema na forma original. A solução é a única que satisfaz a condição inicial, pois os termos da equação são contínuos e a separação levou a uma constante bem determinada.

Resposta

e^{y} + e^{-y}(y+1) = 4 - 2\cos x

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