O que se pede: encontrar uma função y(x) definida em algum intervalo contendo x=0 que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Primeiro passo natural: procurar soluções constantes (também chamadas de soluções de equilíbrio). Se y(x) for constante, então \frac{dy}{dx}=0. Assim devemos resolver:
0=y^{2}-4.
Isso dá as raízes da equação algébrica:
y^{2}-4=0 \implies y=\pm 2.
Portanto existem duas soluções constantes possíveis:
y(x)\equiv 2 \quad\text{e}\quad y(x)\equiv -2.
Verificamos qual delas atende a condição inicial y(0)=-2: claramente y(x)\equiv -2 satisfaz y(0)=-2. Então já temos um candidato óbvio: y(x)\equiv -2. Mas vamos também resolver o caso geral (não-constante) para entender tudo direitinho.
Passo 3
Método clássico: separação de variáveis (válido quando y^{2}-4\neq 0). Reescrevemos:
\frac{dy}{y^{2}-4}=dx.
Agora integraremos ambos os lados. Antes de integrar, fazemos frações parciais para a integral em y. Note que
\frac{1}{y^{2}-4}=\frac{1}{(y-2)(y+2)}.
Procuramos constantes A,B tais que
\frac{1}{(y-2)(y+2)}=\frac{A}{y-2}+\frac{B}{y+2}.
Multiplicando por (y-2)(y+2) obtemos
1 = A(y+2)+B(y-2) = (A+B)y + (2A-2B).
Igualando coeficientes: do termo em y vem A+B=0 e do termo constante 2A-2B=1. Da primeira B=-A. Substituindo na segunda:
onde C é constante de integração. Igualando com a integral do lado direito \int dx = x + C_1, podemos absorver constantes e escrever
\frac{1}{4}\ln\left|\frac{y-2}{y+2}\right| = x + C.
Multiplicando por 4 e exponenciando, obtemos
\left|\frac{y-2}{y+2}\right| = e^{4x+4C} = K e^{4x},
onde K=e^{4C}>0 é uma constante positiva. Removendo o valor absoluto (absorvendo possível sinal em K, que então pode ser qualquer constante não nula C_0), podemos escrever em forma geral
\frac{y-2}{y+2} = C_0 e^{4x}.
Agora resolvemos para y. Multiplicando por y+2:
y-2 = C_0 e^{4x}(y+2).
Isolando y:
y(1 - C_0 e^{4x}) = 2(1 + C_0 e^{4x})
e, quando 1 - C_0 e^{4x}\neq 0,
y(x) = 2\,\frac{1 + C_0 e^{4x}}{1 - C_0 e^{4x}}.
Essa é a expressão geral das soluções não-constantes (definidas onde o denominador não zera).
Passo 5
Agora aplicamos a condição inicial y(0)=-2 à expressão geral. Colocando x=0 na fórmula:
que é uma contradição. Conclusão: não existe constante finita C_0 que torne a solução da forma anterior igual a -2 em x=0. Isso acontece porque, ao separar variáveis e dividir por y^{2}-4, implicitamente assumimos y^{2}-4\neq 0 ao longo da solução; portanto esse processo exclui as soluções constantes y=\pm 2.
Passo 6
Como o processo de separação excluiu a possibilidade y\equiv -2, precisamos considerar explicitamente a solução constante que já havíamos encontrado. Verificação direta:
portanto y(x)\equiv -2 satisfaz a equação diferencial e a condição inicial y(0)=-2.
Além disso, pelo teorema de existência e unicidade (função f(y)=y^{2}-4 é contínua e tem derivada em y, logo é localmente Lipschitz), a solução do problema de valor inicial com condição y(0)=-2 é única. Assim não pode haver outra solução diferente de y\equiv -2 que satisfaça a mesma condição inicial.