Ache uma solução para o problema de valor inicial que consista na equação diferencial \frac{d y}{d x}=y^{2}-4 e nas condições iniciais:
y\left(\frac{1}{4}\right)=1

Passo 1

O problema pede uma solução da equação diferencial com condição inicial. Dados do enunciado:
\frac{dy}{dx}=y^{2}-4
e a condição inicial
y\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=1.
O objetivo é achar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial para x em algum intervalo e que passa por y(\tfrac{1}{4})=1.

Passo 2

Vamos separar variáveis porque a equação tem o formato \frac{dy}{dx}=f(y) (o lado direito depende só de y). Separar variáveis significa escrever todos os termos com y multiplicando dy de um lado e todos os termos com x multiplicando dx do outro, para então integrar ambos os lados. A separação aqui é direta:
\frac{dy}{y^{2}-4}=dx.
Antes de seguir: atenção às raízes do denominador \,y^{2}-4=(y-2)(y+2)\,. Não podemos dividir por zero se y=\pm 2, mas como a condição inicial dá y(\tfrac{1}{4})=1 (que não é \pm2), estamos em região onde a divisão é válida enquanto a solução não atingir \pm2.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Para integrar \int \frac{dy}{y^{2}-4} usamos frações parciais. Escrevemos
\frac{1}{y^{2}-4}=\frac{1}{(y-2)(y+2)}=\frac{A}{y-2}+\frac{B}{y+2}.
Encontramos A e B: multiplicando por (y-2)(y+2) obtemos
1 = A(y+2)+B(y-2).
Comparando coeficientes ou substituindo valores, por exemplo y=2 1=A(4)\Rightarrow A=\tfrac{1}{4} e y=-2 1=B(-4)\Rightarrow B=-\tfrac{1}{4}. Logo
\frac{1}{y^{2}-4}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{y-2}-\frac{1}{y+2}\right).

Passo 4

Integramos os dois lados:
\int \frac{dy}{y^{2}-4}=\int dx.
Usando a decomposição:
\int \frac{dy}{y^{2}-4}=\frac{1}{4}\int\left(\frac{1}{y-2}-\frac{1}{y+2}\right)dy =\frac{1}{4}\ln\left|\frac{y-2}{y+2}\right| + C,
onde C é constante de integração. Então a solução implícita é
\frac{1}{4}\ln\left|\frac{y-2}{y+2}\right|=x+C.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(\tfrac{1}{4})=1 para determinar C. Substituindo x=\tfrac{1}{4} e y=1 na relação implícita:
\frac{1}{4}\ln\left|\frac{1-2}{1+2}\right|=\tfrac{1}{4}+C.
Calculamos \frac{1-2}{1+2}=-\tfrac{1}{3}, e com valor absoluto \left|-\tfrac{1}{3}\right|=\tfrac{1}{3}. Então
\frac{1}{4}\ln\left(\tfrac{1}{3}\right)=\tfrac{1}{4}+C.
Isolando C:
C=\frac{1}{4}\ln\left(\tfrac{1}{3}\right)-\tfrac{1}{4}=-\frac{1}{4}\ln 3-\tfrac{1}{4}.

Passo 6

Passamos para a forma explícita y=y(x). Da relação implícita, multiplicando por 4:
\ln\left|\frac{y-2}{y+2}\right|=4x+4C.
Ao exponenciar, temos
\left|\frac{y-2}{y+2}\right|=e^{4x+4C}.
Para lidar com o sinal (o quociente pode ser negativo), é mais prático determinar a constante com sinal diretamente usando a condição inicial na forma não com valor absoluto. Definimos a constante A por
\frac{y-2}{y+2}=A e^{4x}.
A constante A é obtida avaliando em x=\tfrac{1}{4}, y=1:
A=\frac{1-2}{1+2}e^{-4\cdot(1/4)}=-\frac{1}{3}e^{-1}=-\frac{1}{3e}.
Logo
\frac{y-2}{y+2}=-\frac{1}{3e}e^{4x}=-\frac{1}{3}e^{4x-1}.
Agora resolvemos essa equação para y. Multiplicando ambos os lados por y+2:
y-2 = -\frac{1}{3}e^{4x-1}(y+2).
Colocando os termos com y juntos:
y + \frac{1}{3}e^{4x-1}y = 2 - \frac{2}{3}e^{4x-1}.
Fatorando y:
y\left(1+\frac{1}{3}e^{4x-1}\right)=2\left(1-\frac{1}{3}e^{4x-1}\right).
Finalmente,
y(x)=2\,\frac{1-\tfrac{1}{3}e^{4x-1}}{1+\tfrac{1}{3}e^{4x-1}}.
Multiplicando numerador e denominador por 3 para simplificar:
y(x)=2\,\frac{3-e^{4x-1}}{3+e^{4x-1}}.

Passo 7

Verificações rápidas e observações:
  • Conferindo a condição inicial: para x=\tfrac{1}{4} temos 4x-1=0, e^{0}=1, então y(\tfrac{1}{4})=2(3-1)/(3+1)=4/2=1, OK.
  • Não há singularidade no denominador porque 3+e^{4x-1}>0 para todo x, então esta expressão define uma solução válida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Existem soluções constantes y\equiv 2 e y\equiv -2 da equação diferencial (equilíbrios), mas nossa solução passa por y=1 e portanto não é uma dessas constantes.

Resposta

y(x)=2\,\frac{3-e^{4x-1}}{3+e^{4x-1}}

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