Ache uma solução para o problema de valor inicial que consista na equação diferencial \frac{d y}{d x}=y^{2}-4 e nas condições iniciais: y\left(\frac{1}{4}\right)=1
Passo 1
O problema pede uma solução da equação diferencial com condição inicial. Dados do enunciado:
\frac{dy}{dx}=y^{2}-4
e a condição inicial
y\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=1.
O objetivo é achar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial para x em algum intervalo e que passa por y(\tfrac{1}{4})=1.
Passo 2
Vamos separar variáveis porque a equação tem o formato \frac{dy}{dx}=f(y) (o lado direito depende só de y). Separar variáveis significa escrever todos os termos com y multiplicando dy de um lado e todos os termos com x multiplicando dx do outro, para então integrar ambos os lados. A separação aqui é direta:
\frac{dy}{y^{2}-4}=dx.
Antes de seguir: atenção às raízes do denominador \,y^{2}-4=(y-2)(y+2)\,. Não podemos dividir por zero se y=\pm 2, mas como a condição inicial dá y(\tfrac{1}{4})=1 (que não é \pm2), estamos em região onde a divisão é válida enquanto a solução não atingir \pm2.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Para integrar \int \frac{dy}{y^{2}-4} usamos frações parciais. Escrevemos
Encontramos A e B: multiplicando por (y-2)(y+2) obtemos
1 = A(y+2)+B(y-2).
Comparando coeficientes ou substituindo valores, por exemplo y=2 dá 1=A(4)\Rightarrow A=\tfrac{1}{4} e y=-2 dá 1=B(-4)\Rightarrow B=-\tfrac{1}{4}. Logo
Passamos para a forma explícita y=y(x). Da relação implícita, multiplicando por 4:
\ln\left|\frac{y-2}{y+2}\right|=4x+4C.
Ao exponenciar, temos
\left|\frac{y-2}{y+2}\right|=e^{4x+4C}.
Para lidar com o sinal (o quociente pode ser negativo), é mais prático determinar a constante com sinal diretamente usando a condição inicial na forma não com valor absoluto. Definimos a constante A por
\frac{y-2}{y+2}=A e^{4x}.
A constante A é obtida avaliando em x=\tfrac{1}{4}, y=1:
Multiplicando numerador e denominador por 3 para simplificar:
y(x)=2\,\frac{3-e^{4x-1}}{3+e^{4x-1}}.
Passo 7
Verificações rápidas e observações:
Conferindo a condição inicial: para x=\tfrac{1}{4} temos 4x-1=0, e^{0}=1, então y(\tfrac{1}{4})=2(3-1)/(3+1)=4/2=1, OK.
Não há singularidade no denominador porque 3+e^{4x-1}>0 para todo x, então esta expressão define uma solução válida para todo x\in\mathbb{R}.
Existem soluções constantes y\equiv 2 e y\equiv -2 da equação diferencial (equilíbrios), mas nossa solução passa por y=1 e portanto não é uma dessas constantes.