Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
x d y+\left(x y+2 y-2 e^{-x}\right) d x=0, \quad y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x\,dy + \bigl(x\,y + 2y - 2e^{-x}\bigr)\,dx = 0,
com a condição inicial y(1)=0.
Isso é uma equação de primeira ordem do tipo linear em y, que vamos colocar na forma padrão \displaystyle \frac{dy}{dx} + p(x)\,y = q(x)
e resolver usando fator integrante.

Passo 2

Para colocar em forma padrão, dividimos tudo por x (supondo x\neq0):
\frac{dy}{dx} + \frac{x+2}{x}\,y = \frac{2\,e^{-x}}{x}.

Passo 3

Identificamos p(x)=\frac{x+2}{x}. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int \bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)\,dx\Bigr) = \exp\bigl(x + 2\ln|x|\bigr) = e^{x}\,x^{2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação por \mu(x):
e^{x}x^{2}\,\frac{dy}{dx} + e^{x}x^{2}\,\frac{x+2}{x}\,y = e^{x}x^{2}\,\frac{2\,e^{-x}}{x} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}\bigl(e^{x}x^{2}y\bigr) = 2x.
Integramos em x:
e^{x}x^{2}y = \int 2x\,dx = x^{2} + C.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(1)=0:
e^{1}\cdot1^{2}\cdot0 = 1^{2} + C \;\Longrightarrow\; 0 = 1 + C \;\Longrightarrow\; C = -1.

Passo 6

Substituindo C=-1 na solução geral, temos
e^{x}x^{2}y = x^{2} - 1 \;\Longrightarrow\; y = \frac{x^{2}-1}{e^{x}x^{2}} = e^{-x}\bigl(1 - \tfrac{1}{x^{2}}\bigr).

Resposta

y(x) = e^{-x}\bigl(1 - \tfrac{1}{x^{2}}\bigr).

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