Encontre um fator integrante e resolva a equação dada.
y^{\prime}=e^{2 x}+y-1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = e^{2x} + y - 1
e pede para encontrar um fator integrante e resolver a equação. Este é um caso clássico de equação linear de primeira ordem; vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão
y' - y = e^{2x} - 1.

Passo 3

Para a forma \,y' + p(x)\,y = q(x), aqui temos p(x) = -1. O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx} = e^{\int -1\,dx} = e^{-x}.

Passo 4

Multiplicando toda a equação por \mu(x)=e^{-x}, obtemos
e^{-x}y' - e^{-x}y = e^{-x}e^{2x} - e^{-x}
ou seja
e^{-x}y' - e^{-x}y = e^{x} - e^{-x}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto y\,e^{-x}:
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-x}\bigr) = e^{x} - e^{-x}.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
y\,e^{-x} = \int\bigl(e^{x} - e^{-x}\bigr)\,dx = \int e^{x}\,dx \;-\;\int e^{-x}\,dx = e^{x} + e^{-x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, isolamos y multiplicando por e^{x}:
y(x) = e^{x}\bigl(e^{x} + e^{-x} + C\bigr) = e^{2x} + 1 + C\,e^{x}.

Resposta

y(x) = e^{2x} + 1 + C\,e^{x},
onde C é a constante arbitrária.

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