Nos ítens abaixo, determine os traços, as seções, identifique à superfície quádrica e esboce seu gráfico.
x^{2}+5 y^{2}=8 z^{2}

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida pela equação
x^{2}+5y^{2}=8z^{2}
e pede:
  • determinar os traços (interseções com planos coordenados e outros cortes importantes);
  • descrever as seções (fatias típicas, como \,z= constante, planos que passam pela origem, etc.);
  • identificar que tipo de superfície quádrupla é (nome, características);
  • esboçar (descrever como desenhar) o gráfico.
Informações relevantes já explícitas no enunciado:
  • Equação homogênea de grau 2: \;x^{2}+5y^{2}-8z^{2}=0.
  • A superfície passa pela origem (0,0,0).

Passo 2

Entender o que significa a forma homogênea e a consequência geométrica (aula rápida).
Quando uma equação quadrática é homogênea de grau 2, isto é, \;Q(x,y,z)=0 com Q só termos quadráticos, ela satisfaz a propriedade de escala:
\text{se }(x,y,z)\text{ é solução, então }(\lambda x,\lambda y,\lambda z)\text{ também é solução para todo }\lambda\in\mathbb{R}.éçããééçã
Isto implica que a superfície é um cone com vértice na origem: todas as retas que saem da origem e passam por um ponto da superfície permanecem inteiramente na superfície. Portanto já podemos antecipar que a superfície é um cone (duas nappes, superior e inferior) e que a origem é o vértice.

Passo 3

Traços com os planos coordenados (definição: traço = interseção da superfície com um plano).
a) Plano \,z=0: substituir \,z=0 na equação.
x^{2}+5y^{2}=0.
Como somatório de quadrados só é zero se ambos forem zero, a interseção é o ponto
(0,0,0).
Logo o traço em z=0 é apenas o vértice.
b) Plano \,x=0: substituir \,x=0.
5y^{2}=8z^{2}\quad\Rightarrow\quad 5y^{2}-8z^{2}=0.
Isto fatoriza em duas retas que passam pela origem (na planox- =0 é um plano y\!-\!z):
y=\pm\sqrt{\tfrac{8}{5}}\,z.
Portanto o traço em x=0 é a união de duas retas passando pela origem no plano x=0.
c) Plano \,y=0: substituir \,y=0.
x^{2}=8z^{2}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{8}\,z=\pm 2\sqrt{2}\,z.
Também aqui a interseção são duas retas pelo vértice (no plano y=0).
Resumo curto: em z=0 só a origem; em x=0 e y=0 obtém-se pares de retas que saem da origem.

Passo 4

Seções por planos horizontais \,z=z_0 (importante para visualizar “fatias”):
fixe \,z=z_0 com \,z_0\neq 0 e divida a equação por z_0^{2}:
\frac{x^{2}}{8z_0^{2}}+\frac{y^{2}}{\tfrac{8}{5}z_0^{2}}=1.
Isto é a equação de uma elipse centrada na origem (dentro do plano z=z_0). Os semieixos são:
a_x=\sqrt{8}\,|z_0|,\qquad a_y=\sqrt{\tfrac{8}{5}}\,|z_0|.
Interpretação didática: para cada plano horizontal z=z_0 com z_0\neq 0 a interseção é uma elipse cujo tamanho cresce proporcionalmente a |z_0|. Para z_0=0 a elipse colapsa no ponto origem (veja Passo 3).

Passo 5

Seções por planos verticais que passam pela origem (planos contendo o eixo z) — geradores do cone:
Considere um plano arbitrário do tipo \,y=mx (plano contendo o eixo z). Substituindo:
x^{2}+5m^{2}x^{2}=8z^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}(1+5m^{2})=8z^{2}.
Isso pode ser escrito como
x=\pm\sqrt{\tfrac{8}{1+5m^{2}}}\;z,\qquad y=mx=\pm m\sqrt{\tfrac{8}{1+5m^{2}}}\;z.
Portanto a interseção com qualquer plano que passe pelo eixo z é um par de retas (duas retas opostas) passando pela origem; essas retas são os geradores do cone. Em particular, nos planos x=0 e y=0 as fórmulas acima reduzem aos casos do Passo 3.

Passo 6

Classificação da superfície (aula curta sobre sinais e tipos):
A forma quadrática associada é
Q(x,y,z)=x^{2}+5y^{2}-8z^{2}.
Ela tem sinais positivos para as componentes x^{2},5y^{2} e negativo para -8z^{2}: isto é uma forma indefinida com soma de dois termos positivos e um negativo. A equação Q(x,y,z)=0 com sinais +,+,- e RHS zero caracteriza um cone quádruplo elíptico (ou simplesmente “cono elíptico” — cone duplo com secções transversais elípticas). Portanto a superfície é um cone quádruplo elíptico com vértice na origem e eixos principais alinhados ao eixo z (o “eixo do cone” é a direção z): há duas nappes, uma para z>0 e outra para z<0.
Observação geométrica: não é um cone circular (porque os coeficientes de x^{2} e y^{2} são diferentes), logo as elipses horizontais têm eixos de comprimentos diferentes.

Passo 7

Parametrização prática e instruções para esboçar (como desenhar na prova):
Uma parametrização conveniente (com parâmetro radial u e ângulo \theta) é:
x=\sqrt{8}\,u\cos\theta,\qquad y=\sqrt{\tfrac{8}{5}}\,u\sin\theta,\qquad z=u,
com u\in\mathbb{R} e \theta\in[0,2\pi). Aqui u escala linearmente as elipses; u>0 dá a nappe superior, u<0 a inferior.
Para esboçar:
  • desenhe o eixo z vertical;
  • para alguns valores z=z_0>0 desenhe elipses centradas no eixo z com semieixos a_x=\sqrt{8}\,z_0 na direção x e a_y=\sqrt{8/5}\,z_0 na direção y;
  • faça o mesmo simetricamente para z_0<0;
  • una as elipses de forma suave passando pelo vértice na origem, lembrando que as geratrizes (linhas retas que formam o cone) são dadas por interseções em planos contendo z (ex.: em x=0 as geratrizes são y=\pm\sqrt{8/5}\,z; em y=0 são x=\pm 2\sqrt{2}\,z);
  • finalize como um cone duplo (duas nappes) com secções horizontais elípticas.

Resposta

Traços: z=0\Rightarrow apenas (0,0,0). x=0\Rightarrow y=\pm\sqrt{\tfrac{8}{5}}\,z (duas retas no plano x=0). y=0\Rightarrow x=\pm 2\sqrt{2}\,z (duas retas no plano y=0).
Seções: para z=z_0\neq0,
\frac{x^{2}}{8z_0^{2}}+\frac{y^{2}}{\tfrac{8}{5}z_0^{2}}=1,
ou seja, elipses centradas na origem com semieixos a_x=\sqrt{8}\,|z_0| e a_y=\sqrt{\tfrac{8}{5}}\,|z_0|. Em qualquer plano contendo o eixo z a seção é um par de retas (geratrizes do cone).
Identificação da superfície: cone quádruplo elíptico (cono duplo, vértice em (0,0,0), eixo ao longo de z); não é circular porque os coeficientes de x^{2} e y^{2} diferem.
Parametrização útil:
x=\sqrt{8}\,u\cos\theta,\qquad y=\sqrt{\tfrac{8}{5}}\,u\sin\theta,\qquad z=u,
com u\in\mathbb{R},\\ \theta\in[0,2\pi).
Esboço (descrição): desenhar elipses horizontais proporcionais a |z| e unir por geratrizes passando pela origem formando as duas nappes do cone.

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