Nos ítens abaixo, determine os traços, as seções, identifique à superfície quádrica e esboce seu gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida pela equação
e pede:
- determinar os traços (interseções com planos coordenados e outros cortes importantes);
- descrever as seções (fatias típicas, como
constante, planos que passam pela origem, etc.); - identificar que tipo de superfície quádrupla é (nome, características);
- esboçar (descrever como desenhar) o gráfico.
Informações relevantes já explícitas no enunciado:
- Equação homogênea de grau
: . - A superfície passa pela origem
.
Passo 2
Entender o que significa a forma homogênea e a consequência geométrica (aula rápida).
Quando uma equação quadrática é homogênea de grau , isto é,
com
só termos quadráticos, ela satisfaz a propriedade de escala:
Quando uma equação quadrática é homogênea de grau
Isto implica que a superfície é um cone com vértice na origem: todas as retas que saem da origem e passam por um ponto da superfície permanecem inteiramente na superfície. Portanto já podemos antecipar que a superfície é um cone (duas nappes, superior e inferior) e que a origem é o vértice.
Passo 3
Traços com os planos coordenados (definição: traço = interseção da superfície com um plano).
a) Plano
: substituir
na equação.
Como somatório de quadrados só é zero se ambos forem zero, a interseção é o ponto
Logo o traço em
é apenas o vértice.
b) Plano
: substituir
.
Isto fatoriza em duas retas que passam pela origem (na planox-
é um plano
):
Portanto o traço em
é a união de duas retas passando pela origem no plano
.
c) Plano
: substituir
.
Também aqui a interseção são duas retas pelo vértice (no plano
).
Resumo curto: em
só a origem; em
e
obtém-se pares de retas que saem da origem.
Passo 4
Seções por planos horizontais
(importante para visualizar “fatias”):
fixe com
e divida a equação por
:
fixe
Isto é a equação de uma elipse centrada na origem (dentro do plano
). Os semieixos são:
Interpretação didática: para cada plano horizontal
com
a interseção é uma elipse cujo tamanho cresce proporcionalmente a
. Para
a elipse colapsa no ponto origem (veja Passo 3).
Passo 5
Seções por planos verticais que passam pela origem (planos contendo o eixo
) — geradores do cone:
Considere um plano arbitrário do tipo (plano contendo o eixo
). Substituindo:
Considere um plano arbitrário do tipo
Isso pode ser escrito como
Portanto a interseção com qualquer plano que passe pelo eixo
é um par de retas (duas retas opostas) passando pela origem; essas retas são os geradores do cone. Em particular, nos planos
e
as fórmulas acima reduzem aos casos do Passo 3.
Passo 6
Classificação da superfície (aula curta sobre sinais e tipos):
A forma quadrática associada é
A forma quadrática associada é
Ela tem sinais positivos para as componentes
e negativo para
: isto é uma forma indefinida com soma de dois termos positivos e um negativo. A equação
com sinais +,+,- e RHS zero caracteriza um cone quádruplo elíptico (ou simplesmente “cono elíptico” — cone duplo com secções transversais elípticas). Portanto a superfície é um cone quádruplo elíptico com vértice na origem e eixos principais alinhados ao eixo
(o “eixo do cone” é a direção
): há duas nappes, uma para
e outra para
.
Observação geométrica: não é um cone circular (porque os coeficientes de
e
são diferentes), logo as elipses horizontais têm eixos de comprimentos diferentes.
Passo 7
Parametrização prática e instruções para esboçar (como desenhar na prova):
Uma parametrização conveniente (com parâmetro radial e ângulo
) é:
Uma parametrização conveniente (com parâmetro radial
com
e
. Aqui
escala linearmente as elipses;
dá a nappe superior,
a inferior.
Para esboçar:
- desenhe o eixo
vertical; - para alguns valores
desenhe elipses centradas no eixo com semieixos na direção e na direção ; - faça o mesmo simetricamente para
; - una as elipses de forma suave passando pelo vértice na origem, lembrando que as geratrizes (linhas retas que formam o cone) são dadas por interseções em planos contendo
(ex.: em as geratrizes são ; em são ); - finalize como um cone duplo (duas nappes) com secções horizontais elípticas.
Resposta
Traços:
apenas
.
(duas retas no plano
).
(duas retas no plano
).
Seções: para
,
ou seja, elipses centradas na origem com semieixos
e
. Em qualquer plano contendo o eixo
a seção é um par de retas (geratrizes do cone).
Identificação da superfície: cone quádruplo elíptico (cono duplo, vértice em
, eixo ao longo de
); não é circular porque os coeficientes de
e
diferem.
Parametrização útil:
com
.
Esboço (descrição): desenhar elipses horizontais proporcionais a
e unir por geratrizes passando pela origem formando as duas nappes do cone.