Resolva a equação diferencial dada usando a substituição apropriada.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando mudança de variáveis apropriada. O conteúdo aqui é equação diferencial homogênea de grau 2, e vamos precisar da substituição
(ou
) para reduzir a equação a variáveis separáveis.
Passo 2
Como a equação é homogênea de grau 2 (isto é,
e o mesmo para
), fazemos
. Logo
. Substituindo em
temos
$$M = x^{2}+x(vx)-(v x)^{2} = x^{2}(1+v - v^{2}),\quad N = -x(vx) = -v x^{2}.
$$
Passo 3
Substituindo
e rearranjando em forma de
:
$$(M + N v),dx + N x,dv = 0 \implies dv/dx = -\frac{M + N v}{N x}.
$$
Passo 4
Calculando
e
, obtemos
$$\frac{dv}{dx} = \frac{1+v -2v^{2}}{v x}.
$$
Passo 5
Agora separamos variáveis:
$$\frac{v}{1+v -2v^{2}},dv = \frac{dx}{x}.
$$
Passo 6
Para integrar o lado esquerdo, fatoramos o denominador:
. Então
$$\frac{v}{1+v -2v^{2}} = -\frac{v}{(2v-1)(v+1)} = -\Bigl(\frac{1/3}{2v-1} + \frac{1/3}{v+1}\Bigr)
$$
Passo 7
Aplicando frações parciais e integrando:
$$\int -\frac{v}{(2v-1)(v+1)},dv = -\frac{1}{6}\ln|2v-1| - \frac{1}{3}\ln|v+1| + C = \ln|x| + C.
$$
Passo 8
Multiplicando tudo por
e reunindo logaritmos:
$$\ln\bigl|(2v-1)(v+1)^{2}\bigr| = -6\ln|x| + C’ \implies (2v-1)(v+1)^{2} = \frac{K}{x^{6}}.
$$
Passo 9
Voltando a
:
$$(2\tfrac{y}{x}-1)\bigl(\tfrac{y}{x}+1\bigr)^{2} = \frac{K}{x^{6}} \implies \frac{(2y-x)(x+y){2}}{x{3}} = \frac{K}{x^{6}}.
$$
Passo 10
Multiplicando ambos os lados por
dá a solução implícita:
Resposta
A solução geral é dada implicitamente por
com