Resolva a equação diferencial dada usando a substituição apropriada.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial (x^2+x y - y^2),dx - x y,dy = 0 usando mudança de variáveis apropriada. O conteúdo aqui é equação diferencial homogênea de grau 2, e vamos precisar da substituição y = v x (ou v = y/x) para reduzir a equação a variáveis separáveis.

Passo 2

Como a equação é homogênea de grau 2 (isto é, M(lambda x,lambda y)=lambda^2M(x,y) e o mesmo para N), fazemos y=v x. Logo dy = v,dx + x,dv. Substituindo em
(x^2+x y - y^2),dx - x y,dy = 0
temos y = v x e x y = v x^2, então
$$M = x^{2}+x(vx)-(v x)^{2} = x^{2}(1+v - v^{2}),\quad N = -x(vx) = -v x^{2}.
$$

Passo 3

Substituindo dy e rearranjando em forma de dv/dx:
$$(M + N v),dx + N x,dv = 0 \implies dv/dx = -\frac{M + N v}{N x}.
$$

Passo 4

Calculando M + N v = x^2(1+v - v^2) + (-v x^2)v = x^2(1+v -2v^2) e N x = -v x^3, obtemos
$$\frac{dv}{dx} = \frac{1+v -2v^{2}}{v x}.
$$

Passo 5

Agora separamos variáveis:
$$\frac{v}{1+v -2v^{2}},dv = \frac{dx}{x}.
$$

Passo 6

Para integrar o lado esquerdo, fatoramos o denominador: 1+v -2v^2 = -(2v-1)(v+1). Então
$$\frac{v}{1+v -2v^{2}} = -\frac{v}{(2v-1)(v+1)} = -\Bigl(\frac{1/3}{2v-1} + \frac{1/3}{v+1}\Bigr)
$$

Passo 7

Aplicando frações parciais e integrando:
$$\int -\frac{v}{(2v-1)(v+1)},dv = -\frac{1}{6}\ln|2v-1| - \frac{1}{3}\ln|v+1| + C = \ln|x| + C.
$$

Passo 8

Multiplicando tudo por -6 e reunindo logaritmos:
$$\ln\bigl|(2v-1)(v+1)^{2}\bigr| = -6\ln|x| + C’ \implies (2v-1)(v+1)^{2} = \frac{K}{x^{6}}.
$$

Passo 9

Voltando a v = y/x:
$$(2\tfrac{y}{x}-1)\bigl(\tfrac{y}{x}+1\bigr)^{2} = \frac{K}{x^{6}} \implies \frac{(2y-x)(x+y){2}}{x{3}} = \frac{K}{x^{6}}.
$$

Passo 10

Multiplicando ambos os lados por x^6 dá a solução implícita:
x^3(2y - x)(x + y)^2 = C, onde C é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
x^3(2y - x)(x + y)^2 = C,
com C constante de integração.

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