Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. Observação: e são constantes.

Passo 1

A equação diferencial dada é x y'' + 2y' = 0 e a função proposta é y = c1 + c2 x^-1. Para verificar se y é solução, vamos precisar calcular y', y'' e então substituir na equação.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada de y em relação a x:
y = c1 + c2 x^-1 implies y' = c2 cdot (-1) x^-2 = -c2 x^-2

Passo 3

Agora a segunda derivada de y:
y' = -c2 x^-2 implies y'' = -c2 cdot (-2) x^-3 = 2c2 x^-3

Passo 4

Substituímos y' e y'' na equação x y'' + 2y' e simplificamos:
xcdot(2c2 x^-3) + 2cdot(-c2 x^-2) = 2c2 x^-2 -2c2 x^-2 = 0

Passo 5

Como a expressão resultante é zero, concluímos que y = c1 + c2 x^-1 satisfaz x y'' + 2y' = 0.

Resposta

Sim, a função y = c1 + c2 x^-1 é solução da equação diferencial x y'' + 2y' = 0.

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