Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada sujeita à condição inicial dada.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial x y^2 d yd x=y^3-x^3 com a condição inicial y(1)=2. A matéria envolvida aqui é a resolução de equações diferenciais usando substituições apropriadas. Para resolver, vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a equação e permita encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para facilitar a substituição. Dividindo ambos os lados por y^2, temos:
x d yd x = y^3y^2 - x^3y^2 Rightarrow x d yd x = y - x^3y^2

Passo 3

Observamos que a equação ainda parece complicada. Vamos tentar uma substituição para simplificar. Vamos definir v = y^3. Então, a derivada de v em relação a x será:
d vd x = 3 y^2 d yd x

Passo 4

Substituindo v = y^3 na equação original, temos:
x y^2 d yd x = v - x^3
Substituindo d vd x na equação:
x cdot 13 d vd x = v - x^3
Multiplicando ambos os lados por 3:
x d vd x = 3v - 3x^3

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial linear na forma:
d vd x - 3x v = -3x^2
Para resolver essa equação, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral -3x dx = e^-3 ln x = x^-3

Passo 6

Multiplicando toda a equação pelo fator integrante x^-3:
x^-3 d vd x - 3x x^-3 v = -3x^2 x^-3
Simplificando:
dd x(v x^-3) = -3x^-1

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a x:
v x^-3 = -3 ln x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Voltando à variável original v = y^3:
y^3 x^-3 = -3 ln x + C
Multiplicando ambos os lados por x^3:
y^3 = x^3 (-3 ln x + C)

Passo 9

Aplicando a condição inicial y(1) = 2:
2^3 = 1^3 (-3 ln 1 + C) Rightarrow 8 = 0 + C Rightarrow C = 8

Passo 10

Substituindo C = 8 na equação:
y^3 = x^3 (-3 ln x + 8)

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = raiz[3]x^3 (8 - 3 ln x)

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