Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada sujeita à condição inicial dada.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. A matéria envolvida aqui é a resolução de equações diferenciais usando substituições apropriadas. Para resolver, vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a equação e permita encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para facilitar a substituição. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Passo 3
Observamos que a equação ainda parece complicada. Vamos tentar uma substituição para simplificar. Vamos definir
. Então, a derivada de
em relação a
será:
Passo 4
Substituindo
na equação original, temos:
Substituindo
na equação:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial linear na forma:
Para resolver essa equação, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 6
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Voltando à variável original
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Aplicando a condição inicial
:
Passo 10
Substituindo
na equação:
Resposta
A solução da equação diferencial é: