integral0^pi / 2 integral0^cos theta r^3 d r d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla passo a passo! O enunciado é:
integral0^pi / 2 integral0^cos theta r^3 , dr , dtheta
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais duplas em coordenadas polares. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função integral r^n , dr = r^n+1n+1 + C em relação a integral0^cos theta r^3 , dr = [ r^44 ]0^cos theta = (cos theta)^44 - 0^44 = (cos theta)^44 , mantendo como constante. A integral de em relação a é:
Então, aplicando isso:

Passo 3

Agora, substituímos essa resultado na integral externa em relação a integral0^pi / 2 (cos theta)^44 , dtheta = 14 integral0^pi / 2 (cos theta)^4 , dtheta :

Passo 4

Para integrar integral (cos theta)^2n , dtheta = (2n-1)!!(2n)!! pi , usamos uma fórmula de redução para potências pares de cosseno. A fórmula é:
integral0^pi / 2 (cos theta)^4 , dtheta = 3!!4!! cdot pi2 = 38 cdot pi2 = 3pi16
No nosso caso, :

Passo 5

Agora, multiplicamos pelo fator que tínhamos anteriormente:
14 cdot 3pi16 = 3pi64

Resposta

O valor da integral dupla é .

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