Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada sujeita à condição inicial dada.

Passo 1

A equação é de primeira ordem: (x+y e^y/x),dx - x e^y/x,dy = 0 com condição inicial y(1)=0. Vamos usar a substituição típica para dependência em y/x, definindo u = y/x.

Passo 2

Fazendo y = u x, temos dy = u,dx + x,du. Além disso, y e^y/x = x u e^u e x + y e^y/x = x(1 + u e^u), e x e^y/x = x e^u. Substituindo tudo:
(1 + u e^u),dx - e^u(u,dx + x,du) = 0
Expandindo e cancelando termos iguais, sobra
dx - x e^u,du = 0.

Passo 3

Essa equação é separável. Reescrevendo:
dxx = e^u,du
Integrando os dois lados:
integral dxx = integral e^u,du implies ln|x| = e^u + C

Passo 4

Voltando a y/x, temos u = y/x e portanto
e^y/x = ln x + C1. Usando a condição inicial y(1)=0 e^0 = 1 = ln1 + C1, logo C1 = 1. Assim:
e^y/x = ln x + 1
e finalmente
y = xln(ln x + 1).

Resposta

y = x \ln(\ln x + 1)

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