Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada sujeita à condição inicial dada.
Passo 1
A equação é de primeira ordem:
com condição inicial
. Vamos usar a substituição típica para dependência em
, definindo
.
Passo 2
Fazendo
, temos
. Além disso,
e
, e
. Substituindo tudo:
Expandindo e cancelando termos iguais, sobra
Passo 3
Essa equação é separável. Reescrevendo:
Integrando os dois lados:
Passo 4
Voltando a
, temos
e portanto
e finalmente
Resposta
y = x \ln(\ln x + 1)