Resolva a equação diferencial dada
se
e
;
)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
no caso
e
, além de identificar possíveis soluções constantes. O método aqui é separação de variáveis, pois podemos escrever a derivada de
em função de
e de
de forma fatorada.
Passo 2
Reescrevendo a equação na forma
obtemos
Agora separamos as variáveis
e
:
Passo 3
Integramos ambos os lados:
Usando
e
, fica
onde
é constante de integração.
Passo 4
Aplicamos a função seno para “desfazer”
:
Isso fornece a família de soluções gerais com
.
Passo 5
Verificamos ainda se há soluções constantes. Se
com
, então
e a equação
exige
, ou seja
. Logo restam as soluções constantes
Resposta
A solução geral para
e
é
com
constante arbitrária, e as únicas soluções constantes são