Resolva a equação diferencial dada
x y^prime=raiz1-y^2 (y=sen(ln |x|+c) se x neq 0 e |y|<1; y=-1, y=1 )

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x,y'=raiz1-y^2
no caso xneq0 e |y|<1, além de identificar possíveis soluções constantes. O método aqui é separação de variáveis, pois podemos escrever a derivada de y em função de y e de x de forma fatorada.

Passo 2

Reescrevendo a equação na forma y'=dydx obtemos
dydx=raiz1-y^2x
Agora separamos as variáveis y e x:
dyraiz1-y^2=dxx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral dyraiz1-y^2 = integral dxx
Usando integraldyraiz1-y^2=arcsin(y) e integraldxx=lnlvert xrvert, fica
arcsin(y)=lnlvert xrvert + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Aplicamos a função seno para “desfazer” arcsin:
y=sinl(lnlvert xrvert + Cr)
Isso fornece a família de soluções gerais com |y|<1.

Passo 5

Verificamos ainda se há soluções constantes. Se yequiv k com |k|<=1, então y'=0 e a equação xcdot0=raiz1-k^2 exige raiz1-k^2=0, ou seja lvert krvert=1. Logo restam as soluções constantes
yequiv 1 e yequiv -1

Resposta

A solução geral para xneq0 e |y|<1 é
y=sinl(lnlvert xrvert + Cr),
com C constante arbitrária, e as únicas soluções constantes são
y=-1, y=1

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