Use o método do Problema 25 para resolver a equação dada para t>0.
$t^{2} y^{\prime \prime}-4 t y^{\prime}-6 y=0

Passo 1

O enunciado pede resolver, para t>0, a equação diferencial de Euler–Cauchy
t^2y''-4t,y'-6y=0
O conteúdo é Equação de Euler–Cauchy e vamos usar a ansatz y=t^m para reduzir a ODE a uma equação algébrica em m.

Passo 2

Assumimos
y=t^m,
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y' = m,t^m-1, y''=m(m-1),t^m-2

Passo 3

Substituindo em t^2y''-4t,y'-6y=0 temos
t^2l[m(m-1)t^m-2r];-;4tl[m,t^m-1r];-;6,t^m=0
e fatorando t^mneq0 fica a equação característica
m(m-1)-4m-6=0

Passo 4

Desenvolvendo
m^2-m-4m-6= m^2-5m-6=0
e usando a fórmula de Bhaskara
m = 5pmraiz25 +242 = 5pm72,
resultando em
m1=6, m2=-1

Passo 5

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da ODE é
y(t)=C1,t^6 + C2,t^-1,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C1,t^6 + C2,t^-1

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