Resolva a equação diferencial dada
d yd x=x-e^-xy+e^y (y^2-x^2+2(e^y-e^-x)=c, y+e^y neq 0)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
dydx=x-e^-xy+e^y,
com a condição y+e^yneq0, e pede a solução geral em forma implícita, que já sugere
;y^2-x^2+2l(e^y-e^-xr)=C
O conteúdo principal aqui é EDO separável e integração de funções elementares.

Passo 2

Reconhecemos que a equação é separável porque podemos agrupar termos em y de um lado e termos em x de outro. Multiplicando ambos os lados por (y+e^y),dx e por dx, obtemos
(y+e^y),dy=(x-e^-x),dx

Passo 3

Integramos o lado em y:
integral(y+e^y),dy =integral y,dy+integral e^y,dy =y^22+e^y

Passo 4

Integramos o lado em x:
integral(x-e^-x),dx =integral x,dx-integral e^-x,dx =x^22+e^-x

Passo 5

Igualando as integrais e introduzindo a constante de integração K, temos
y^22+e^y =x^22+e^-x+K
Subtraindo o lado direito e multiplicando tudo por 2, chega-se à forma implícita mais elegante:
y^2-x^2+2l(e^y-e^-xr)=C,
onde C=2K é a constante geral.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
y^2-x^2+2l(e^y-e^-xr)=C

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