Use o método do Problema 25 para resolver a equação dada para t>0.
$t^{2} y^{\prime \prime}-4 t y^{\prime}+6 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Cauchy
t^2y''-4t,y'+6y=0, t>0,
usando o método do Problema 25. Esse método consiste em assumir uma solução da forma y=t^r e reduzir a EDO a uma equação algébrica em r.

Passo 2

Assumimos
y=t^r,Longrightarrow;y'=r,t^r-1, y''=r(r-1),t^r-2
Substituindo na EDO:
t^2l[r(r-1)t^r-2r]-4tl[r,t^r-1r]+6,t^r=0

Passo 3

Fatorando t^r em cada termo:
r(r-1)t^r-4r,t^r+6,t^r=l[r(r-1)-4r+6r],t^r=0
Como t^rneq0 para t>0, impõe-se
r(r-1)-4r+6=0

Passo 4

Desenvolvendo a equação característica:
r^2-r-4r+6=r^2-5r+6=0 Longrightarrow(r-2)(r-3)=0 Longrightarrow r=2 ou r=3

Passo 5

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é a combinação linear das duas potências:
y(t)=C1,t^2+C2,t^3,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C1t^2+C2t^3

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