Resolva a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a resolvamos (ou seja, encontrar a solução geral
). Informações relevantes: a derivada
aparece isolada no lado esquerdo, o lado direito depende apenas da combinação
e de
via essa razão. Não há condições iniciais fornecidas, então procuraremos a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Boa notícia: quando o lado direito depende de
, uma substituição clássica que simplifica é definir uma nova função
Isso significa que
. Agora vamos calcular
em termos de
e
. Usamos a regra do produto (derivada de
):
Escrever isso em notação curta:
Aqui
significa
. Sempre que faço essa substituição eu estou trocando a incógnita
por
, que costuma transformar a equação numa que separa variáveis.
Passo 3
Substituo
e
na equação original:
Agora simplifico, cancelando
nos dois lados:
Passando para a forma de derivada explícita:
Escrevendo como diferencial (para separar variáveis):
A separação de variáveis consiste em colocar todos os termos com
de um lado e os com
do outro. Assim:
Passo 4
Agora integramos ambos os lados. Vou explicar as integrais usadas:
- A integral de
em relação a é , pois . - A integral de
em relação a é .
Integrando:
obtém-se
onde
é uma constante arbitrária de integração.
Passo 5
Isolamos
e reorganizamos a constante para ficar mais conveniente. Multiplicando por
e definindo uma nova constante
(ainda arbitrária),
Note que
é um número real arbitrário; para manter o lado direito positivo (já que
) precisamos que
no domínio da solução, mas deixamos isso anotado como condição de domínio. Agora tomamos logaritmo para achar
. Como
, temos
logo
Passo 6
Voltamos à variável original
. Lembre que
. Assim
Multiplicando por
,
onde
é a constante arbitrária de integração. Essa é a solução geral, válida para
tais que
(para manter o argumento do logaritmo positivo).