Resolva a equação diferencial dada.
y^{\prime}=e^{\frac{y}{x}}+\frac{y}{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = e^{\frac{y}{x}} + \frac{y}{x}
e pede que a resolvamos (ou seja, encontrar a solução geral y(x)). Informações relevantes: a derivada y' aparece isolada no lado esquerdo, o lado direito depende apenas da combinação \frac{y}{x} e de x via essa razão. Não há condições iniciais fornecidas, então procuraremos a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Boa notícia: quando o lado direito depende de \frac{y}{x}, uma substituição clássica que simplifica é definir uma nova função
v(x)=\frac{y(x)}{x}.
Isso significa que y(x)=v(x)\,x. Agora vamos calcular y' em termos de v e v'. Usamos a regra do produto (derivada de v(x)\cdot x):
y' = (v(x)\,x)' = v'(x)\,x + v(x).
Escrever isso em notação curta:
y' = x v' + v.
Aqui v' significa \dfrac{dv}{dx}. Sempre que faço essa substituição eu estou trocando a incógnita y(x) por v(x), que costuma transformar a equação numa que separa variáveis.

Passo 3

Substituo y' e \frac{y}{x}=v na equação original:
x v' + v = e^{v} + v.
Agora simplifico, cancelando v nos dois lados:
x v' = e^{v}.
Passando para a forma de derivada explícita:
v' = \frac{e^{v}}{x}.
Escrevendo como diferencial (para separar variáveis):
\frac{dv}{dx} = \frac{e^{v}}{x}.
A separação de variáveis consiste em colocar todos os termos com v de um lado e os com x do outro. Assim:
e^{-v}\,dv = \frac{dx}{x}.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. Vou explicar as integrais usadas:
  • A integral de e^{-v} em relação a v é -e^{-v}, pois \frac{d}{dv}(-e^{-v}) = e^{-v}.
  • A integral de \frac{1}{x} em relação a x é \ln|x|.
Integrando:
\int e^{-v}\,dv = \int \frac{dx}{x}
obtém-se
- e^{-v} = \ln|x| + C,
onde C é uma constante arbitrária de integração.

Passo 5

Isolamos e^{-v} e reorganizamos a constante para ficar mais conveniente. Multiplicando por -1 e definindo uma nova constante C_1=-C (ainda arbitrária),
e^{-v} = C_1 - \ln|x|.
Note que C_1 é um número real arbitrário; para manter o lado direito positivo (já que e^{-v}>0) precisamos que C_1 - \ln|x|>0 no domínio da solução, mas deixamos isso anotado como condição de domínio. Agora tomamos logaritmo para achar v. Como e^{-v}=C_1-\ln|x|, temos
-v = \ln\bigl(C_1 - \ln|x|\bigr),
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v = -\ln\bigl(C_1 - \ln|x|\bigr).

Passo 6

Voltamos à variável original y. Lembre que v=\dfrac{y}{x}. Assim
\frac{y}{x} = -\ln\bigl(C_1 - \ln|x|\bigr).
Multiplicando por x,
y(x) = -x\,\ln\bigl(C_1 - \ln|x|\bigr),
onde C_1 é a constante arbitrária de integração. Essa é a solução geral, válida para x tais que C_1 - \ln|x|>0 (para manter o argumento do logaritmo positivo).

Resposta

y(x) = -x\,\ln\bigl(C - \ln|x|\bigr)

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