Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações e observações iniciais que temos:
- A incógnita é
função de e . - Há uma divisão por
, então a fórmula original não está definida em ; portanto devemos trabalhar em intervalos que não contenham . - Ao aplicar a técnica de separação de variáveis vamos precisar dividir por
, então durante o processo devemos cuidar do caso (i.e., ), que pode ser uma solução especial que precisa ser verificada separadamente. - Objetivo final: encontrar a família geral de soluções (com constante de integração) e mencionar eventuais soluções especiais e o domínio.
Passo 2
Vamos aplicar o método de separação de variáveis: a ideia é escrever a equação de modo que todos os termos com
fiquem multiplicando
e todos os termos com
fiquem multiplicando
. Começamos a partir de
Assumindo temporariamente
e
, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
, obtendo
Aqui estamos em forma separada: um lado só em
com
e outro só em
com
.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Lembre que a derivada de
é
, então a primitiva de
em relação a
é
.
Integrando,
Integrando,
dá
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos manipular essa igualdade de logaritmos para isolar
. Subtraindo
e exponenciando obtemos
Aplicando exponencial,
Defina
. Então
Agora, ao retirar os valores absolutos, podemos escrever de maneira equivalente que existe uma constante
tal que
onde
pode ser qualquer número real (o sinal de
absorve as combinações de sinais oriundas dos valores absolutos; o caso
corresponde a
, ou seja
). Portanto
Passo 5
Renomeamos a constante
para uma constante arbitrária
(notação comum). Assim a família geral de soluções é
Verificação rápida: se
, então
e
logo a igualdade
é satisfeita. O caso
dá
, que é a solução constante especial mencionada anteriormente. Lembre-se de que a equação original não está definida em
, portanto cada solução é válida em qualquer intervalo onde a função do lado direito seja contínua (i.e., intervalos que não contenham
).
Resposta
válida em intervalos que não contenham