Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo:
y^{\prime}=\frac{1+y}{1+x}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'=\frac{1+y}{1+x}.
Informações e observações iniciais que temos:
  • A incógnita é y função de x e y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Há uma divisão por 1+x, então a fórmula original não está definida em x=-1; portanto devemos trabalhar em intervalos que não contenham x=-1.
  • Ao aplicar a técnica de separação de variáveis vamos precisar dividir por 1+y, então durante o processo devemos cuidar do caso 1+y=0 (i.e., y=-1), que pode ser uma solução especial que precisa ser verificada separadamente.
  • Objetivo final: encontrar a família geral de soluções (com constante de integração) e mencionar eventuais soluções especiais e o domínio.

Passo 2

Vamos aplicar o método de separação de variáveis: a ideia é escrever a equação de modo que todos os termos com y fiquem multiplicando dy e todos os termos com x fiquem multiplicando dx. Começamos a partir de
\frac{dy}{dx}=\frac{1+y}{1+x}.
Assumindo temporariamente 1+y\neq0 e 1+x\neq0, dividimos ambos os lados por 1+y e multiplicamos por dx, obtendo
\frac{1}{1+y}\,dy=\frac{1}{1+x}\,dx.
Aqui estamos em forma separada: um lado só em y com dy e outro só em x com dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Lembre que a derivada de \ln|1+u| é \dfrac{1}{1+u}, então a primitiva de \dfrac{1}{1+u} em relação a u é \ln|1+u|.
Integrando,
\int \frac{1}{1+y}\,dy=\int \frac{1}{1+x}\,dx
\ln|1+y|=\ln|1+x|+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Vamos manipular essa igualdade de logaritmos para isolar y. Subtraindo \ln|1+x| e exponenciando obtemos
\ln|1+y|-\ln|1+x|=C \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\left(\frac{|1+y|}{|1+x|}\right)=C.
Aplicando exponencial,
\frac{|1+y|}{|1+x|}=e^{C}.
Defina A=e^{C}>0. Então
|1+y|=A\,|1+x|.
Agora, ao retirar os valores absolutos, podemos escrever de maneira equivalente que existe uma constante K tal que
1+y=K(1+x),
onde K pode ser qualquer número real (o sinal de K absorve as combinações de sinais oriundas dos valores absolutos; o caso K=0 corresponde a 1+y=0, ou seja y=-1). Portanto
y=K(1+x)-1.

Passo 5

Renomeamos a constante K para uma constante arbitrária C (notação comum). Assim a família geral de soluções é
y=C(1+x)-1,\qquad C\in\mathbb{R}.
Verificação rápida: se y=C(1+x)-1, então
\frac{dy}{dx}=C
e
\frac{1+y}{1+x}=\frac{1+C(1+x)-1}{1+x}=\frac{C(1+x)}{1+x}=C,
logo a igualdade y'=(1+y)/(1+x) é satisfeita. O caso C=0 y=-1, que é a solução constante especial mencionada anteriormente. Lembre-se de que a equação original não está definida em x=-1, portanto cada solução é válida em qualquer intervalo onde a função do lado direito seja contínua (i.e., intervalos que não contenham x=-1).

Resposta

y=C(1+x)-1,\quad C\in\mathbb{R}.
válida em intervalos que não contenham x=-1.

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