Resolva a equação diferencial dada.
(a) y^{\prime}=e^{\frac{y}{x}}+\frac{y}{x}
(b) y d x+(2 \sqrt{x y}-x) d y=0
(c) \left(x^{2}-y^{2}\right) d x-2 x y d y=0
(d) y^{\prime}=y+\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}
(e) \left(x^{2}+y^{2}\right) d x+\left(x^{2}-x y\right) d y=0
(f) \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x+\sqrt{x y}}, x>0, y>0
Passo 1
Você me deu seis equações diferenciais separadas (a) a (f) e pediu para resolvê-las. Vou listar claramente cada enunciado e o que é pedido:
Em cada item vou mostrar passo a passo a técnica usada, as substituições, integrações e como obter a solução (expliquei nas etapas seguintes cada conceito aplicado).
Passo 2
(a) Identificação e substituição clássica y=xv.
Explicação didática: quando a expressão aparece na combinação \dfrac{y}{x} dentro de uma função (aqui e^{y/x}), é muito natural usar a substituição v=\dfrac{y}{x}. Isso reduz dependência complicada e muitas vezes transforma em equação separável.
Começo: coloque y=xv(x). Então
y' = v + x\frac{dv}{dx}.
Substitua na equação dada:
v + x\frac{dv}{dx} = e^{v} + v.
Simplifique cancelando v:
x\frac{dv}{dx} = e^{v}.
Isto é separável: escrevemos
e^{-v}\,dv = \frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados; lembre que \int e^{-v}dv = -e^{-v} e \int \frac{dx}{x} = \ln|x|:
Volte para y: \;y = x v. Portanto a solução geral é
y(x) = -x\ln\big(C_1 - \ln|x|\big),
onde C_1 é constante arbitrária. (Observação: domínio compatível com C_1 - \ln|x|>0 se quisermos v real.)
Passo 3
(b) Transformação sugerida: usar y = u^{2} x (ou ver a presença de \sqrt{xy}).
Motivação: o termo \sqrt{xy} sugere escrever y como u^{2}x (porque então \sqrt{xy}=ux). Essa substituição costuma simplificar raízes de produto.
Tomando y=u^{2}x com u=u(x). Então
dy = u^{2}dx + 2xu\,du.
Substitua em y\,dx + (2\sqrt{xy}-x)\,dy = 0. Observando que, com a substituição, \sqrt{xy}=ux:
x u^{2}dx + x(2u-1)\big(u^{2}dx + 2xu\,du\big)=0.
Faço as contas com calma: os termos em dx somam
x u^{2} + x(2u-1)u^{2} = x u^{2}\big(1 + 2u -1\big) = 2x u^{3}
e o termo em du é
2x^{2}u(2u-1)\,du.
A equação fica
2x u^{3}dx + 2x^{2}u(2u-1)\,du = 0.
Dividindo por 2xu (assumindo u\neq 0; caso u=0 dá y\equiv 0 que também é solução particular):
u^{2}\,dx + x(2u-1)\,du = 0.
Reorganize para separar:
\frac{dx}{x} = -\frac{2u-1}{u^{2}}\,du.
Integre ambos os lados. À direita, note que \dfrac{2u-1}{u^{2}} = \dfrac{2}{u} - \dfrac{1}{u^{2}}. Assim
Volte à variável original: u=\sqrt{\dfrac{y}{x}}. Então x u^{2} = y e \dfrac{1}{u}=\sqrt{\dfrac{x}{y}}. Observe também \ln|x| + 2\ln|u| = \ln\big|x u^{2}\big| = \ln|y|. Consequentemente obtemos a solução implícita simples:
\boxed{\;\ln|y| + \sqrt{\dfrac{x}{y}} = C\; }.
(Se quiser, pode isolar y numericamente, mas a forma implícita acima é limpa.)
Passo 4
(c) Reconhecer homogeneidade: dividir por x^{2} e usar v=\dfrac{y}{x}.
Explicação: as funções são polinomiais de mesmo grau (grau 2), então usar y=xv costuma simplificar.
Comece com
(x^{2}-y^{2})dx - 2xy\,dy = 0.
Divida por dx e escreva \dfrac{dy}{dx} ou faça a substituição. Usando y=xv e dy = vdx + x dv temos:
Integre: \int \frac{dx}{x} = \ln|x| e, para a direita, faça a substituição w=1-3v^{2} ou observe que \dfrac{2v}{1-3v^{2}} é uma derivada logarítmica multiplicada por constante. Usando w=1-3v^{2}, dw=-6v\,dv e obtemos
\int \frac{2v}{1-3v^{2}}\,dv = -\frac{1}{3}\ln|1-3v^{2}| + C.
com C constante arbitrária. (Forma explícita y em termos de x pode ser obtida, mas a forma implícita é suficiente.)
Passo 5
(d) Análise e redução por substituição homogênea; obtemos uma equação para v=\dfrac{y}{x} que leva a uma quadratura (integração) não-elementar em geral. Vou mostrar a transformação passo a passo e escrever a solução reduzida como quadratura (integral), explicando por que isso ocorre.
Começamos por tentar a substituição natural y=xv. Como antes, y' = v + x dv/dx. Substituindo em
y' = y + \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}
obtemos
v + x\frac{dv}{dx} = vx + \sqrt{1+v^{2}}\;\operatorname{sgn}(x).
(Aqui usei \sqrt{x^{2}+y^{2}} = |x|\sqrt{1+v^{2}}; para simplicidade de exposição suponho x>0, então \operatorname{sgn}(x)=1.) Assim, para x>0,
v + x\frac{dv}{dx} = vx + \sqrt{1+v^{2}}.
Reorganizando:
x\frac{dv}{dx} = v(x-1) + \sqrt{1+v^{2}}.
Isto é uma equação de primeira ordem para v(x), mas NÃO É separável nem linear em v. Podemos escrever em forma explícita de quadratura isolando dx/x:
Porém observe que o lado direito ainda depende de x e de v conjuntamente (porque aparece v(x-1) com x). Então uma separação direta não é possível. Uma alternativa é considerar a equação invertida, tratar x como função de v. Reescrevendo:
\frac{dx}{dv} = \frac{x}{v(x-1)+\sqrt{1+v^{2}}}.
Agrupe os termos com x:
\frac{dx}{dv} = \frac{x}{x v - v + \sqrt{1+v^{2}}} .
Isto é uma equação do tipo \dfrac{dx}{dv} = \dfrac{x}{a(v) x + b(v)}, que pode ser rearranjada para
\frac{dx}{dv} = \frac{1}{a(v) + \dfrac{b(v)}{x}}.
Neste formato vemos que não se reduz a uma equação linear simples em x ou separável de maneira elementar. Por isso a solução geral exige integrar uma expressão que não tem primitiva elementar conhecida; ou seja, reduz-se a uma quadratura implícita.
Resumo do procedimento e forma de solução reduzida (implicita por quadratura):
a) Fazer v=\dfrac{y}{x}.
b) Obter a ODE para v:
x\frac{dv}{dx} = v(x-1) + \sqrt{1+v^{2}}.
c) Reescrever como equação para x em função de v:
\frac{dx}{dv} = \frac{x}{xv - v + \sqrt{1+v^{2}}}.
d) A solução geral é dada implicitamente pela integral (quadratura)
\int \frac{xv - v + \sqrt{1+v^{2}}}{x}\,dv = \ln|x| + C,
que ao expandir envolve integrais que não reduzem a primitivas elementares para x(v) de forma explícita sem resolução numérica ou funções especiais.
Portanto, a equação é redutível a uma quadratura após v=\dfrac{y}{x}, mas a primitiva final não é expressável em funções elementares usuais; a solução é dada implicitamente por integração (quadratura). Em uma prova, é aceitável apresentar a redução até essa quadratura e comentar que a integral não tem primitiva elementar conhecida.
Passo 6
(e) Homogeneidade e substituição y = vx.
Explicação: os dois coeficientes x^{2}+y^{2} e x^{2}-xy são homogêneos de grau 2, então y=xv é apropriado.
Substitua y = vx, dy = vdx + x dv em
(x^{2}+y^{2})dx + (x^{2}-xy)dy =0.
Com y=vx obtemos:
x^{2}(1+v^{2})dx + x^{2}(1-v)(vdx + x dv) = 0.
Calcule com calma: os termos em dx formam
x^{2}\big(1+v^{2} + v(1-v)\big)dx = x^{2}(1+v)dx,
e o termo em dv é
x^{3}(1-v)\,dv.
Logo
x^{2}(1+v)dx + x^{3}(1-v)\,dv = 0.
Divida tudo por x^{2} (assumindo x\neq 0):
(1+v)\,dx + x(1-v)\,dv = 0.
Separe:
\frac{dx}{x} = -\frac{1-v}{1+v}\,dv.
Integre. Observe que \dfrac{1-v}{1+v} = 1 - \dfrac{2v}{1+v}, então
Volte à variável original v = \dfrac{y}{x}. Usando propriedades dos logaritmos,
\ln|x| + 2\ln\Big|1+\frac{y}{x}\Big| - \frac{y}{x} = C.
Uma forma compacta é
\ln\!\left|\frac{(x+y)^{2}}{x}\right| - \frac{y}{x} = C.
Ou, reorganizando,
\boxed{\;2\ln|x+y| - \ln|x| - \frac{y}{x} = C\;},
que é a solução implícita geral.
Passo 7
(f) Substituição natural y = u^{2} x (de novo usar raiz por causa de \sqrt{xy}).
Motivação: o denominador contém x+\sqrt{xy}. Com y=u^{2}x temos \sqrt{xy}=ux e a razão simplifica.
As primitivas são -\dfrac{2}{u} + 2\ln|u| do lado esquerdo e -\ln|x| do lado direito. Logo
- \frac{2}{u} + 2\ln|u| = -\ln|x| + C.
Rearranje para uma forma simples: some \ln|x| aos dois lados e regrupe:
\ln|x| + \left(-\frac{2}{u} + 2\ln|u|\right) = C.
Agora volte para u=\sqrt{y/x}. Observe que
\ln|x| + 2\ln u = \ln|x| + 2\ln\sqrt{\tfrac{y}{x}} = \ln|x| + (\ln y - \ln x) = \ln|y|.
E \dfrac{2}{u} = 2\sqrt{\dfrac{x}{y}}. Então a constante final aparece na forma simples:
\boxed{\;\ln y - 2\sqrt{\dfrac{x}{y}} = C\; }.
Essa é a solução implícita geral para (f) (válida para x>0,y>0 conforme enunciado).
Resposta
(a) y = -x\ln\big(C_1 - \ln|x|\big)
(b) \ln|y| + \sqrt{\dfrac{x}{y}} = C
(c) x\big(x^{2}-3y^{2}\big) = C
(d) Substituindo v=\dfrac{y}{x} obtém-se
x\frac{dv}{dx}=v(x-1)+\sqrt{1+v^{2}},
ou equivalentemente
\frac{dx}{dv}=\frac{x}{xv-v+\sqrt{1+v^{2}}},
isto é, a solução reduz-se a uma quadratura implicita (integração não-elementar); a equação não tem primitiva elementar simples, portanto a solução é dada implicitamente por essa quadratura.