Resolva a equação diferencial dada. y^{\prime}=x^{2} / y\left(1+x^{3}\right)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}}{y\,(1+x^{3})}.
Este é um caso de equação de variáveis separáveis: a gente vai colocar todo termo com y de um lado e todo termo com x de outro, e depois integrar.
Passo 2
Reorganizando para separar variáveis, obtemos
y\,dy = \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados:
\int y\,dy \;=\;\int \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx.
Passo 4
No lado esquerdo,
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}.
No lado direito, fazemos a substituição \;t = 1 + x^{3}, de modo que \,dt = 3x^{2}\,dx e portanto x^{2}\,dx = \tfrac{dt}{3}. Assim