Resolva a equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é dada por $ y’ = e^{\frac{y}{x}} + \frac{y}{x} $. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, onde precisamos encontrar a função $ y(x) $ que satisfaz essa relação. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a equação usando uma substituição. Vamos definir $ u = \frac{y}{x} $. Assim, $ y = u \cdot x $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $. Usando a regra do produto:
Passo 4
Substituímos $ y’ $ e $ y $ na equação original:
Simplificando, subtraímos $ u $ de ambos os lados:
Passo 5
Agora, queremos separar as variáveis para integrar. Dividimos ambos os lados por $ e^{u} $ e multiplicamos por $ dx $:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é $ -e^{-u} $ e a do lado direito é $ \ln|x| $, então:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para $ e^{-u} $:
Podemos simplificar a constante $ -C $ para apenas $ C $, então:
Passo 8
Agora, tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por $ -1 $:
Passo 9
Lembrando que $ u = \frac{y}{x} $, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por $ x $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é $ y = -x \cdot \ln(C - \ln|x|) $, onde $ C $ é uma constante arbitrária.