Resolva a equação diferencial dada.
y^prime=e^y / x+yx

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é dada por $ y’ = e^{\frac{y}{x}} + \frac{y}{x} $. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, onde precisamos encontrar a função $ y(x) $ que satisfaz essa relação. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a equação usando uma substituição. Vamos definir $ u = \frac{y}{x} $. Assim, $ y = u \cdot x $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $. Usando a regra do produto:
y

Passo 4

Substituímos $ y’ $ e $ y $ na equação original:
y'
Simplificando, subtraímos $ u $ de ambos os lados:
y

Passo 5

Agora, queremos separar as variáveis para integrar. Dividimos ambos os lados por $ e^{u} $ e multiplicamos por $ dx $:
e^u

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados:
integral e^-u du = integral 1x dx
A integral do lado esquerdo é $ -e^{-u} $ e a do lado direito é $ \ln|x| $, então:
-e^-u
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para $ e^{-u} $:
e^-u
Podemos simplificar a constante $ -C $ para apenas $ C $, então:
e^-u = - (ln|x| + C)

Passo 8

Agora, tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
-u = ln(C - ln|x|)
Multiplicando ambos os lados por $ -1 $:
-1

Passo 9

Lembrando que $ u = \frac{y}{x} $, substituímos de volta:
u = yx
Multiplicando ambos os lados por $ x $:
yx = -ln(C - ln|x|)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é $ y = -x \cdot \ln(C - \ln|x|) $, onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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